Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
Passo 1
A gente tem a série alternada
. O conteúdo a usar é o critério de Leibniz para séries alternadas (que pede termos não negativos decrescentes e cuja limite é zero) e também o teste de convergência absoluta (comparando com uma p-série).
Passo 2
Defino
e considero a função
para
. Vou mostrar que
é decrescente usando derivada:
O numerador se simplifica a
para todo
. Como o denominador
é positivo, fica
, logo
decresce.
Passo 3
Agora vejo o limite de
quando
. Temos
Passo 4
Como
, decresce e tende a zero, o critério de Leibniz garante que a série alternada converge.
Passo 5
Para ver se converge absolutamente, estudo
Para
grande o termo principal é
. Como a p-série com
diverge, por comparação a soma de
diverge. Portanto não há convergência absoluta, só condicional.
Resposta
A série alternada converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge absolutamente).