Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot raizn+1n+1

Passo 1

A gente tem a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1raizn+1n+1. O conteúdo a usar é o critério de Leibniz para séries alternadas (que pede termos não negativos decrescentes e cuja limite é zero) e também o teste de convergência absoluta (comparando com uma p-série).

Passo 2

Defino bn=raizn+1n+1 e considero a função f(x)=raizx+1x+1 para x>=1. Vou mostrar que bn é decrescente usando derivada:
f'(x)=12raizx(x+1)-(raizx+1)(x+1)^2
O numerador se simplifica a
x+12raizx-(raizx+1)= x+1-2raizx(raizx+1)2raizx= -(x+2raizx-1)2raizx<0
para todo x>=1. Como o denominador (x+1)^2 é positivo, fica f'(x)<0, logo bn decresce.

Passo 3

Agora vejo o limite de bn quando ntoinfty. Temos
limntoinftybn=limntoinftyraizn+1n+1 =limntoinftyraiznn,+,1n+1=0+0=0

Passo 4

Como bn>=0, decresce e tende a zero, o critério de Leibniz garante que a série alternada converge.

Passo 5

Para ver se converge absolutamente, estudo
sumn=1^infty bn=sumn=1^inftyraizn+1n+1
Para n grande o termo principal é raiznn=n^-1/2. Como a p-série com p=1/2<1 diverge, por comparação a soma de bn diverge. Portanto não há convergência absoluta, só condicional.

Resposta

A série alternada converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas diverge absolutamente).

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