Quais das séries alternadas convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=2^infty(-1)^n+1 cdot ln nln n^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
sumn=2^infty(-1)^n+1,ln nln n^2
O conteúdo envolvido é o teste de convergência para séries alternadas, especialmente o teste necessário (termo geral deve tender a zero) e o critério de Leibniz.

Passo 2

Observe que, para n>=2,
ln(n^2) = 2,ln n,
portanto
ln nln n^2 = ln n2,ln n = 12
Logo o termo geral da série é
an = (-1)^n+1,12

Passo 3

Verificamos a condição necessária para convergência de qualquer série:
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^n+1,12
não existe como zero (oscila entre tfrac12 e -tfrac12), em particular
limntoinftyanneq 0

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária para convergir. Portanto ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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