A equação representando uma onda progressiva em uma corda esticada é dada por:
y(x, t)=(8,50 mm) cos [(10,5 rad / m) x+(628 rad / s) t]
A corda tem um comprimento de 1,20 m e sua massa é 2,00 g. Determine a tensão na corda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos a equação de uma onda que se propaga por uma corda esticada:
y(x, t) = (8,50 , mm) cos [(10,5 , rad/m) , x + (628 , rad/s) , t]
Nos é dado o comprimento da corda (1,20 m) e sua massa (2,00 g). Queremos encontrar a tensão na corda. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de velocidade da onda, densidade linear de massa e a relação entre tensão e velocidade da onda em uma corda esticada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da onda a partir da equação dada. A equação geral de uma onda é:
y(x, t) = A cos(kx + omega t),
onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com a nossa equação:
  • Amplitude $ A = 8,50 , mm $,
  • Número de onda $ k = 10,5 , rad/m $,
  • Frequência angular $ \omega = 628 , rad/s $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade de propagação da onda ($ v $). A velocidade da onda está relacionada à frequência angular e ao número de onda pela fórmula:
v
Substituindo os valores que temos:
v = omegak

Passo 4

Calculando a velocidade:
v = 62810,5 approx 59,81 , m/s
Então, a velocidade da onda na corda é aproximadamente 59,81 m/s.

Passo 5

Em seguida, precisamos determinar a densidade linear de massa ($ \mu $) da corda. A densidade linear de massa é dada pela massa da corda dividida pelo seu comprimento:
mu
Dado que a massa $ m = 2,00 , g = 0,002 , kg $ e o comprimento $ L = 1,20 , m $:
mu = mL
Arredondando, temos $ \mu \approx 0,00167 , kg/m $.

Passo 6

Sabemos que a velocidade da onda em uma corda esticada está relacionada à tensão na corda ($ T $) e à densidade linear de massa pela fórmula:
T
Queremos encontrar a tensão $ T $, então vamos rearranjar a fórmula:
v = raizTmu

Passo 7

Agora, substituímos os valores de $ \mu $ e $ v $:
mu
Calculando o quadrado da velocidade:
v

Passo 8

Multiplicando pela densidade linear de massa:
T = 0,00167 , kg/m times 3589,56 , m^2/s^2 approx 6,00 , N

Resposta

A tensão na corda é de aproximadamente 6,00 N.

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