A equação representando uma onda progressiva em uma corda esticada é dada por:
A corda tem um comprimento de
e sua massa é
. Determine a tensão na corda.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos a equação de uma onda que se propaga por uma corda esticada:
Nos é dado o comprimento da corda (1,20 m) e sua massa (2,00 g). Queremos encontrar a tensão na corda. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de velocidade da onda, densidade linear de massa e a relação entre tensão e velocidade da onda em uma corda esticada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da onda a partir da equação dada. A equação geral de uma onda é:
onde:
- $ A $ é a amplitude da onda,
- $ k $ é o número de onda,
- $ \omega $ é a frequência angular.
Comparando com a nossa equação:
- Amplitude $ A = 8,50 , mm $,
- Número de onda $ k = 10,5 , rad/m $,
- Frequência angular $ \omega = 628 , rad/s $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade de propagação da onda ($ v $). A velocidade da onda está relacionada à frequência angular e ao número de onda pela fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Calculando a velocidade:
Então, a velocidade da onda na corda é aproximadamente 59,81 m/s.
Passo 5
Em seguida, precisamos determinar a densidade linear de massa ($ \mu $) da corda. A densidade linear de massa é dada pela massa da corda dividida pelo seu comprimento:
Dado que a massa $ m = 2,00 , g = 0,002 , kg $ e o comprimento $ L = 1,20 , m $:
Arredondando, temos $ \mu \approx 0,00167 , kg/m $.
Passo 6
Sabemos que a velocidade da onda em uma corda esticada está relacionada à tensão na corda ($ T $) e à densidade linear de massa pela fórmula:
Queremos encontrar a tensão $ T $, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de $ \mu $ e $ v $:
Calculando o quadrado da velocidade:
Passo 8
Multiplicando pela densidade linear de massa:
Resposta
A tensão na corda é de aproximadamente 6,00 N.