A equação da reta normal à parábola y=x^2-4 x+5 que é paralela à reta x-4 y=3 é expressa por:
a) y=-14 x+5
b) y=14 x-5
c) y=-14 x-5
d) y=14 x+5
e) y=-14 x

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à parábola y = x^2 - 4x + 5 que seja paralela à reta dada por x - 4y = 3. O conteúdo principal aqui é derivada para obter o coeficiente angular da tangente, depois usar a relação entre tangente e normal, e então impor a condição de paralelismo.

Passo 2

Para um ponto x0 genérico na parábola, a derivada é
y' = ddx(x^2-4x+5) = 2x - 4,
logo o coeficiente angular da reta tangente em x0 é mrm t=2x0-4. Como a normal tem coeficiente angular mrm n = -1mrm t, temos
mrm n = -12x0-4
Por outro lado, a reta x - 4y = 3 pode ser escrita como
y = 14x - 34,
portanto seu coeficiente angular é tfrac14. Para paralelismo, basta igualar
-12x0-4 = 14

Passo 3

Resolvendo
-12x0-4 = 14 Longrightarrow 2x0-4 = -4 Longrightarrow 2x0 = 0 Longrightarrow x0 = 0

Passo 4

No ponto x0=0 da parábola, o valor de y é
y0 = 0^2 - 4cdot0 + 5 = 5
Logo a reta normal passa por (0,5) com coeficiente angular mrm n=tfrac14. Sua equação em forma ponto-pendente é
y - 5 = 14(x - 0) Longrightarrow y = 14x + 5

Resposta

d) y = 14x + 5

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