Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 80 cm^3 / seg. Quando o diâmetro for 40 cm , o raio do balão está crescendo a uma taxa de:
a) 140 pi cm / seg
b) 120 pi cm / seg
c) 180 pi cm / seg
d) 116 pi cm / seg
e) 132 pi cm / seg

Passo 1

O enunciado diz que o volume V de um balão esférico cresce à taxa de dVdt=80 cm^3/s e pergunta qual é a taxa de crescimento do raio r quando o diâmetro é 40 cm (ou seja, r=20 cm). O conteúdo aqui é de taxas de variação relacionadas usando derivadas implícitas.

Passo 2

A relação entre o volume e o raio de uma esfera é dada por
V = 43pi r^3
Para encontrar a relação entre dVdt e drdt, derivamos ambos os lados em relação ao tempo t:
dVdt = ddtl(43pi r^3r) = 4pi r^2 ,drdt
Isolamos drdt na expressão acima:
drdt = dVdt4pi r^2

Passo 3

Substituímos dVdt=80 cm^3/s e r=20 cm:
drdt = 804pi,(20)^2 = 804pi cdot 400 = 801600pi = 120picm/s

Passo 4

Essa taxa corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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