A equação da reta de regressão no modelo de regressão linear simples serve à modelagem de uma relação entre uma variável dependente Y e uma única variável explanatória X tal que
Y_{i}=\hat{Y}_{i}+\hat{u}_{i}
onde
\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{i}
(i) \hat{Y}_{i} : valor estimado de Y_{i}.
(ii) \hat{u}_{i} : resíduos ou diferenças entre valores estimados e observados de Y.
(iii) \hat{\beta}_{1} e \hat{\beta}_{2} são os estimadores do intercepto e inclinação respectivamente.
A fim de determinar os estimadores do intercepto \hat{\beta}_{1} e da inclinação \hat{\beta}_{2}, resolva o problema de minimização da função
f\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}\right)=\sum_{i} \hat{u}_{i}^{2}=\sum_{i}\left(Y_{i}-\hat{\beta}_{1}-\hat{\beta}_{2} X_{i}\right)^{2} .
a) Aplique as Condições de Primeira Ordem (CPO) à função f\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}\right) e em seguida use a Regra de Cramer de modo a encontrar as seguintes soluções para os estimadores \hat{\beta}_{1} e \hat{\beta}_{2} :
\begin{gathered} \hat{\beta}_{2}=\frac{n \sum X_{i} Y_{i}-\sum X_{i} \sum Y_{i}}{n \sum X_{i}^{2}-\left(\sum X_{i}\right)^{2}} \\\ \hat{\beta}_{1}=\frac{\sum X_{i}^{2} \sum Y_{i}-\sum X_{i} \sum X_{i} Y_{i}}{n \sum X_{i}^{2}-\left(\sum X_{i}\right)^{2}} \end{gathered}
b) Demonstre que:
\begin{gathered} \hat{\beta}_{2}=\frac{\sum\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sum\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}, \\\ \hat{\beta}_{1}=\bar{Y}-\hat{\beta}_{2} \bar{X} . \end{gathered}
onde \bar{X}=\left(\sum X_{i}\right) / n e \bar{Y}=\left(\sum Y_{i}\right) / n.

Passo 1

Temos o modelo de regressão linear simples
Y_{i}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2}X_{i}+\hat{u}_{i}
e a soma dos quadrados dos resíduos
f(\hat{\beta}_{1},\hat{\beta}_{2})=\sum_{i}(Y_{i}-\hat{\beta}_{1}-\hat{\beta}_{2}X_{i})^{2}.
Para encontrar os estimadores \hat{\beta}_{1} e \hat{\beta}_{2} minimizando f, vamos aplicar as Condições de Primeira Ordem (CPO), obter as equações normais e resolver esse sistema usando a Regra de Cramer.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f e igualemos a zero:
\frac{\partial f}{\partial \hat{\beta}_{1}} =-2\sum_{i}(Y_{i}-\hat{\beta}_{1}-\hat{\beta}_{2}X_{i})=0,
\frac{\partial f}{\partial \hat{\beta}_{2}} =-2\sum_{i}X_{i}(Y_{i}-\hat{\beta}_{1}-\hat{\beta}_{2}X_{i})=0.
Simplificando obtemos as equações normais:
\sum_{i}Y_{i}=n\,\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2}\sum_{i}X_{i},
\sum_{i}X_{i}Y_{i}=\hat{\beta}_{1}\sum_{i}X_{i}+\hat{\beta}_{2}\sum_{i}X_{i}^{2}.

Passo 3

Escrevendo o sistema em forma matricial para \hat{\beta}_{1}\) e \(\hat{\beta}_{2}\): \[\begin{cases} n\,\hat{\beta}_{1}+\bigl(\sum X_{i}\bigr)\hat{\beta}_{2}=\sum Y_{i},\\\ \bigl(\sum X_{i}\bigr)\hat{\beta}_{1}+\bigl(\sum X_{i}^{2}\bigr)\hat{\beta}_{2}=\sum X_{i}Y_{i}. \end{cases}
Pela Regra de Cramer, o determinante principal é
D = \begin{vmatrix} n & \sum X_{i}\\\ \sum X_{i} & \sum X_{i}^{2} \end{vmatrix} = n\sum X_{i}^{2} - \bigl(\sum X_{i}\bigr)^{2}.
Os numeradores para \hat{\beta}_{2}\] e \(\hat{\beta}_{1} são
D_{2} = \begin{vmatrix} n & \sum Y_{i}\\\ \sum X_{i} & \sum X_{i}Y_{i} \end{vmatrix} = n\sum X_{i}Y_{i} - \sum X_{i}\sum Y_{i},
D_{1} = \begin{vmatrix} \sum Y_{i} & \sum X_{i}\\\ \sum X_{i}Y_{i} & \sum X_{i}^{2} \end{vmatrix} = \sum X_{i}^{2}\sum Y_{i} - \sum X_{i}\sum X_{i}Y_{i}.
Logo,
\hat{\beta}_{2} = \frac{D_{2}}{D} = \frac{n\sum X_{i}Y_{i} - \sum X_{i}\sum Y_{i}} {\,n\sum X_{i}^{2} - (\sum X_{i})^{2}\,},
\hat{\beta}_{1} = \frac{D_{1}}{D} = \frac{\sum X_{i}^{2}\sum Y_{i} - \sum X_{i}\sum X_{i}Y_{i}} {\,n\sum X_{i}^{2} - (\sum X_{i})^{2}\,}.

Passo 4

Agora vamos reescrever essas fórmulas em termos de desvios em relação às médias \bar{X}=\tfrac{1}{n}\sum X_{i} e \bar{Y}=\tfrac{1}{n}\sum Y_{i}. Note que
\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y}) =\sum X_{i}Y_{i} - n\bar{X}\,\bar{Y}, \quad \sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2} =\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}^{2}.
Substituindo em \hat{\beta}_{2} e usando \bar{X}\,\bar{Y}=(\sum X_{i})(\sum Y_{i})/n^{2}, chega-se a
\hat{\beta}_{2} =\frac{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})} {\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2}}.
Em seguida, da normal \sum Y_{i}=n\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2}\sum X_{i}, divide-se por n e isola-se \hat{\beta}_{1}:
\bar{Y}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2}\bar{X} \quad\Longrightarrow\quad \hat{\beta}_{1}=\bar{Y}-\hat{\beta}_{2}\,\bar{X}.

Resposta

(a)
\hat{\beta}_{2} =\frac{n\sum X_{i}Y_{i}-\sum X_{i}\sum Y_{i}} {\,n\sum X_{i}^{2}-\bigl(\sum X_{i}\bigr)^{2}\,}, \quad \hat{\beta}_{1} =\frac{\sum X_{i}^{2}\sum Y_{i}-\sum X_{i}\sum X_{i}Y_{i}} {\,n\sum X_{i}^{2}-\bigl(\sum X_{i}\bigr)^{2}\,}.
(b)
\hat{\beta}_{2} =\frac{\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})} {\sum_{i}(X_{i}-\bar{X})^{2}}, \quad \hat{\beta}_{1} =\bar{Y}-\hat{\beta}_{2}\,\bar{X}.

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