A equação da reta de regressão no modelo de regressão linear simples serve à modelagem de uma relação entre uma variável dependente Y e uma única variável explanatória X tal que
Y_{i}=\hat{Y}_{i}+\hat{u}_{i}
onde
\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{i}
(i) \hat{Y}_{i} : valor estimado de Y_{i}.
(ii) \hat{u}_{i} : resíduos ou diferenças entre valores estimados e observados de Y.
(iii) \hat{\beta}_{1} e \hat{\beta}_{2} são os estimadores do intercepto e inclinação respectivamente.
A fim de determinar os estimadores do intercepto \hat{\beta}_{1} e da inclinação \hat{\beta}_{2}, resolva o problema de minimização da função
a) Aplique as Condições de Primeira Ordem (CPO) à função f\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}\right) e em seguida use a Regra de Cramer de modo a encontrar as seguintes soluções para os estimadores \hat{\beta}_{1} e \hat{\beta}_{2} :
Para encontrar os estimadores \hat{\beta}_{1} e \hat{\beta}_{2} minimizando f, vamos aplicar as Condições de Primeira Ordem (CPO), obter as equações normais e resolver esse sistema usando a Regra de Cramer.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de f e igualemos a zero:
Escrevendo o sistema em forma matricial para \hat{\beta}_{1}\) e \(\hat{\beta}_{2}\):
\[\begin{cases} n\,\hat{\beta}_{1}+\bigl(\sum X_{i}\bigr)\hat{\beta}_{2}=\sum Y_{i},\\\ \bigl(\sum X_{i}\bigr)\hat{\beta}_{1}+\bigl(\sum X_{i}^{2}\bigr)\hat{\beta}_{2}=\sum X_{i}Y_{i}. \end{cases}
Pela Regra de Cramer, o determinante principal é
D = \begin{vmatrix} n & \sum X_{i}\\\ \sum X_{i} & \sum X_{i}^{2} \end{vmatrix} = n\sum X_{i}^{2} - \bigl(\sum X_{i}\bigr)^{2}.
Os numeradores para \hat{\beta}_{2}\] e \(\hat{\beta}_{1} são
Agora vamos reescrever essas fórmulas em termos de desvios em relação às médias \bar{X}=\tfrac{1}{n}\sum X_{i} e \bar{Y}=\tfrac{1}{n}\sum Y_{i}. Note que