Responda.
(UFF-RJ) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.
a) O conjugado de
(1+i) é
(1-i).
b) |1+i|=√2
c)
(1+i) é raiz da equação z^{2}-2 z+2=0.
d)
(1+i)^{-1}=(1-i)
e)
(1+i)^{2}=2 i

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre o número complexo 1+i e pede a que é incorreta. Para isso vamos usar as seguintes propriedades de números complexos:
– conjugado: se z=a+bi então \overline{z}=a-bi;
– módulo: \lvert a+bi\rvert=\sqrt{a^2+b^2};
– raiz de equação: basta substituir z na expressão polinomial;
– inverso: (a+bi)^{-1}=\frac{1}{a+bi}, geralmente racionalizado pelo conjugado;
– potência: calcular diretamente usando i^2=-1.

Passo 2

Verificamos cada alternativa:
Alternativa (a): o conjugado de 1+i é
\overline{1+i}=1-i,
logo a afirmação é verdadeira.
Alternativa (b): o módulo de 1+i é
\lvert 1+i\rvert=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},
logo a afirmação é verdadeira.
Alternativa (c): substituindo z=1+i em z^2-2z+2 temos
(1+i)^2-2(1+i)+2=(1+2i+i^2)-2-2i+2=(1+2i-1)-2-2i+2=0,
logo 1+i é raiz e a afirmação é verdadeira.
Alternativa (d): o inverso de 1+i é
(1+i)^{-1}=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2},
que não é igual a 1-i. Portanto esta afirmação é falsa.
Alternativa (e):
(1+i)^2=1+2i+i^2=2i,
logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

d) (1+i)^{-1}=(1-i) é a afirmação incorreta.

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