A equação da reta de regressão no modelo de regressão linear simples serve à modelagem de uma relação entre uma variável dependente
Y e uma única variável explanatória
X tal que
Y_{i}=\hat{Y}_{i}+\hat{u}_{i}
onde
\hat{Y}_{i}=\hat{\beta}_{1}+\hat{\beta}_{2} X_{i}
(i)
\hat{Y}_{i} : valor estimado de
Y_{i}.
(ii)
\hat{u}_{i} : resíduos ou diferenças entre valores estimados e observados de
Y.
(iii)
\hat{\beta}_{1} e
\hat{\beta}_{2} são os estimadores do intercepto e inclinação respectivamente.
A fim de determinar os estimadores do intercepto
\hat{\beta}_{1} e da inclinação
\hat{\beta}_{2}, resolva o problema de minimização da função
f\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}\right)=\sum_{i} \hat{u}_{i}^{2}=\sum_{i}\left(Y_{i}-\hat{\beta}_{1}-\hat{\beta}_{2} X_{i}\right)^{2} .
a) Aplique as Condições de Primeira Ordem (CPO) à função
f\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}\right) e em seguida use a Regra de Cramer de modo a encontrar as seguintes soluções para os estimadores
\hat{\beta}_{1} e
\hat{\beta}_{2} :
\begin{gathered} \hat{\beta}_{2}=\frac{n \sum X_{i} Y_{i}-\sum X_{i} \sum Y_{i}}{n \sum X_{i}^{2}-\left(\sum X_{i}\right)^{2}} \\\ \hat{\beta}_{1}=\frac{\sum X_{i}^{2} \sum Y_{i}-\sum X_{i} \sum X_{i} Y_{i}}{n \sum X_{i}^{2}-\left(\sum X_{i}\right)^{2}} \end{gathered}
b) Demonstre que:
\begin{gathered} \hat{\beta}_{2}=\frac{\sum\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sum\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}, \\\ \hat{\beta}_{1}=\bar{Y}-\hat{\beta}_{2} \bar{X} . \end{gathered}
onde
\bar{X}=\left(\sum X_{i}\right) / n e
\bar{Y}=\left(\sum Y_{i}\right) / n.