1. Se uma equação de uma reta tangente à curva y=f(x) no ponto onde a=2 é y=4 x-5, encontre f(2) e f^{\prime}(2).

Passo 1

O enunciado dá a equação de uma reta tangente à curva y=f(x) no ponto em que a=2. A reta tangente é
y=4x-5.
O que o problema pede:
  • Encontrar \,f(2)\,.
  • Encontrar \,f'(2)\,.
Informações relevantes que temos:
  • A reta dada é a reta tangente à curva no ponto com abscissa x=2.
  • A reta tangente passa pelo ponto (2,f(2)) e sua inclinação é igual a f'(2).

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática): a reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=a é a melhor aproximação linear de f perto de a. A forma geral dessa reta (a linearização de f em a) é
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui:
  • L(x) é a equação da reta tangente (uma função afim).
  • f(a) é o valor da função no ponto de tangência (a ordenada do ponto).
  • f'(a) é a derivada em a, que corresponde à inclinação (coeficiente angular) da reta tangente.
    Em palavras simples: a derivada em a diz “quão inclinada” a curva está em a, e a reta tangente passa exatamente por (a,f(a)).

Passo 3

Vamos usar a forma geral da reta tangente com a=2. Substituindo em \,L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\, obtemos
L(x)=f(2)+f'(2)(x-2).
A reta tangente fornecida é \,y=4x-5. Como L(x) e y representam a mesma reta, podemos igualar as duas expressões. Para comparar coeficientes, escrevemos L(x) em forma afim:
L(x)=f'(2)\,x+\bigl(f(2)-2f'(2)\bigr).
Comparando com 4x-5 obtemos duas igualdades pelos coeficientes:
\text{coeficiente de }x:\quad f'(2)=4,
\text{termo constante}:\quad f(2)-2f'(2)=-5.
Agora substituímos f'(2)=4 na segunda igualdade:
f(2)-2\cdot 4=-5 \quad\Rightarrow\quad f(2)-8=-5.
Resolvendo,
f(2)=8-5=3.

Passo 4

Verificação rápida (mostra que está consistente com a ideia da linearização): se f(2)=3 e f'(2)=4, então a linearização é
L(x)=3+4(x-2)=3+4x-8=4x-5,
que é exatamente a reta dada. Então os valores encontrados fazem sentido.

Passo 5

Resumo conceitual para memorização rápida antes da prova: quando te dão a equação da reta tangente y=mx+b no ponto x=a,
  • a derivada é f'(a)=m;
  • e a ordenada f(a) obtém-se impondo que (a,f(a)) está na reta, ou seja f(a)=m a + b.
    Isso te dá uma forma muito direta de extrair f(a) e f'(a) sem mistério.

Resposta

\,f(2)=3
\,f'(2)=4

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