- Se uma equação de uma reta tangente à curva
no ponto onde
é
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de uma reta tangente à curva
no ponto em que
. A reta tangente é
O que o problema pede:
- Encontrar
. - Encontrar
.
Informações relevantes que temos:
- A reta dada é a reta tangente à curva no ponto com abscissa
. - A reta tangente passa pelo ponto
e sua inclinação é igual a .
Passo 2
Conceito essencial (explicação didática): a reta tangente à curva
no ponto
é a melhor aproximação linear de
perto de
. A forma geral dessa reta (a linearização de
em
) é
Aqui:
-
é a equação da reta tangente (uma função afim). -
é o valor da função no ponto de tangência (a ordenada do ponto). -
é a derivada em , que corresponde à inclinação (coeficiente angular) da reta tangente.
Em palavras simples: a derivada emdiz “quão inclinada” a curva está em , e a reta tangente passa exatamente por .
Passo 3
Vamos usar a forma geral da reta tangente com
. Substituindo em
obtemos
A reta tangente fornecida é
. Como
e
representam a mesma reta, podemos igualar as duas expressões. Para comparar coeficientes, escrevemos
em forma afim:
Comparando com
obtemos duas igualdades pelos coeficientes:
Agora substituímos
na segunda igualdade:
Resolvendo,
Passo 4
Verificação rápida (mostra que está consistente com a ideia da linearização): se
e
, então a linearização é
que é exatamente a reta dada. Então os valores encontrados fazem sentido.
Passo 5
Resumo conceitual para memorização rápida antes da prova: quando te dão a equação da reta tangente
no ponto
,
- a derivada é
; - e a ordenada
obtém-se impondo que está na reta, ou seja .
Isso te dá uma forma muito direta de extraire sem mistério.