Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
.
O que ele pede:
O que ele pede:
- Mostrar, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número do seu domínio.
- Dizer qual é o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de
. Não há outras restrições explícitas.
Passo 2
Vou lembrar (de forma clara e simples) os teoremas que vamos usar — escrevo-os de modo intuitivo e prático, porque na prova geralmente aparecem exatamente nesses formatos.
-
Teorema 4 (funções básicas contínuas): funções constantes e a função identidade
são contínuas em toda parte; como consequência linhas do tipo (com constante) e constantes são contínuas em toda parte.
Explicação rápida: dizer que uma função é contínua em um ponto significa que o limite quandose aproxima daquele ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Para a identidade e constantes isso é óbvio. -
Teorema 5 (soma e diferença): se
e são contínuas em um ponto, então e também são contínuas naquele ponto.
Explicação rápida: limites somam, então o limite da soma é a soma dos limites. -
Teorema 7 (produto e multiplicação por escalar): se
e são contínuas em um ponto, então é contínua; e multiplicar por uma constante preserva continuidade.
Explicação rápida: limites multiplicam, então o produto tem limite igual ao produto dos limites. -
Teorema 9 (quociente): se
e são contínuas em um ponto e tem valor diferente de zero nesse ponto, então a função é contínua nesse ponto.
Explicação rápida: o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador limite seja não nulo.
Passo 3
Identificar as funções que compõem
. Defino
de modo que
.
Vamos mostrar que
e
são contínuas em toda parte (isso é necessário para aplicar o Teorema 9 depois).
Passo 4
Provar que
é contínua em todo
.
- Pela Teorema 4, a função identidade
é contínua e, por multiplicação por escalar (Teorema 7), é contínua. - A função constante
é contínua (Teorema 4). - Aplicando o Teorema 5 (soma),
é soma de funções contínuas, logo é contínua em todo ponto.
Passo 5
Provar que
é contínua em todo
.
- Pela Teorema 4,
é contínua e a constante é contínua. - Pelo Teorema 5, a soma
é contínua em toda parte. Logo é contínua em todo .
Passo 6
Aplicar o Teorema 9 (quociente) para concluir sobre
.
- Já temos que
e são contínuas em todo . Pelo Teorema 9, a função é contínua em qualquer ponto onde não se anule. - Então
é contínua em todo tal que .
Passo 7
Determinar onde
é zero (para achar o domínio de
).
- Resolver
: . - Logo
para todo com . Portanto só está definida quando .
Concluindo: por Teorema 9 (com os Teoremas 4, 5 e 7 usados para garantir continuidade de numerador e denominador),
é contínua em todo ponto do conjunto
.
Resposta
A função é contínua em todo ponto do seu domínio.
Domínio:
Domínio: