Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
f(t)=\frac{2 t+1}{t+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(t)=\dfrac{2t+1}{t+3}\,.
O que ele pede:
  • Mostrar, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número do seu domínio.
  • Dizer qual é o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de f. Não há outras restrições explícitas.

Passo 2

Vou lembrar (de forma clara e simples) os teoremas que vamos usar — escrevo-os de modo intuitivo e prático, porque na prova geralmente aparecem exatamente nesses formatos.
  • Teorema 4 (funções básicas contínuas): funções constantes e a função identidade t\mapsto t são contínuas em toda parte; como consequência linhas do tipo a t (com a constante) e constantes b são contínuas em toda parte.
    Explicação rápida: dizer que uma função é contínua em um ponto significa que o limite quando t se aproxima daquele ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Para a identidade e constantes isso é óbvio.
  • Teorema 5 (soma e diferença): se g e h são contínuas em um ponto, então g+h e g-h também são contínuas naquele ponto.
    Explicação rápida: limites somam, então o limite da soma é a soma dos limites.
  • Teorema 7 (produto e multiplicação por escalar): se g e h são contínuas em um ponto, então g\cdot h é contínua; e multiplicar por uma constante preserva continuidade.
    Explicação rápida: limites multiplicam, então o produto tem limite igual ao produto dos limites.
  • Teorema 9 (quociente): se g e h são contínuas em um ponto e h tem valor diferente de zero nesse ponto, então a função \dfrac{g}{h} é contínua nesse ponto.
    Explicação rápida: o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador limite seja não nulo.

Passo 3

Identificar as funções que compõem f. Defino
g(t)=2t+1 \qquad\text{e}\qquad h(t)=t+3,
de modo que \,f(t)=\dfrac{g(t)}{h(t)}\,.
Vamos mostrar que g e h são contínuas em toda parte (isso é necessário para aplicar o Teorema 9 depois).

Passo 4

Provar que g(t)=2t+1 é contínua em todo t.
  • Pela Teorema 4, a função identidade t\mapsto t é contínua e, por multiplicação por escalar (Teorema 7), t\mapsto 2t é contínua.
  • A função constante t\mapsto 1 é contínua (Teorema 4).
  • Aplicando o Teorema 5 (soma), g(t)=2t+1 é soma de funções contínuas, logo g é contínua em todo ponto.

Passo 5

Provar que h(t)=t+3 é contínua em todo t.
  • Pela Teorema 4, t\mapsto t é contínua e a constante 3 é contínua.
  • Pelo Teorema 5, a soma t+3 é contínua em toda parte. Logo h é contínua em todo t.

Passo 6

Aplicar o Teorema 9 (quociente) para concluir sobre f.
  • Já temos que g e h são contínuas em todo t. Pelo Teorema 9, a função \dfrac{g}{h} é contínua em qualquer ponto onde h não se anule.
  • Então f(t)=\dfrac{g(t)}{h(t)} é contínua em todo a tal que h(a)\neq0.

Passo 7

Determinar onde h é zero (para achar o domínio de f).
  • Resolver h(t)=0: t+3=0 \Rightarrow t=-3.
  • Logo h(t)\neq0 para todo t com t\neq-3. Portanto f só está definida quando t\neq-3.
Concluindo: por Teorema 9 (com os Teoremas 4, 5 e 7 usados para garantir continuidade de numerador e denominador), f é contínua em todo ponto do conjunto \{t\in\mathbb{R}\mid t\neq-3\}.

Resposta

A função é contínua em todo ponto do seu domínio.
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-3\}

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