\quad\left\{-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots,(-1)^{n} \frac{1}{2^{n-1}}, \ldots\right\}, \quad\left\{(-1)^{n} \frac{1}{2^{n-1}}\right\} \quad ou \quad\left\{(-1)^{n} \frac{1}{2^{n-1}}\right\}_{n=1}^{\infty}
Este é um exemplo de uma sequência alternada (ou seja, em que há alternância de sinal). Isto é garantido no termo geral pela expressão (-1)^{n}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que vamos responder (peguei tudo do próprio enunciado):
  • Sequência dada: \{-1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{8},\ldots,(-1)^{n}\tfrac{1}{2^{n-1}},\ldots\}.
  • O enunciado fornece o termo geral \;a_n = (-1)^{n}\dfrac{1}{2^{\,n-1}}\; (ou a mesma sequência escrita como \{(-1)^{n}\tfrac{1}{2^{n-1}}\}_{n=1}^{\infty}).
  • Perguntas que vou responder passo a passo:
    1. Mostrar que a sequência é alternada (mudança de sinal) e explicar por que.
    2. Identificar se é uma sequência geométrica e qual a razão.
    3. Estudar convergência: existe limite? qual?
    4. Verificar monotonicidade (ou não) e se é limitada.
    5. Dar observações úteis para usar isso numa prova.

Passo 2

Calcular os primeiros termos a partir do termo geral para fixar a ideia.
  • Para n=1: a_1 = (-1)^{1}\dfrac{1}{2^{0}} = -1.
  • Para n=2: a_2 = (-1)^{2}\dfrac{1}{2^{1}} = +\dfrac{1}{2}.
  • Para n=3: a_3 = (-1)^{3}\dfrac{1}{2^{2}} = -\dfrac{1}{4}.
  • Para n=4: a_4 = (-1)^{4}\dfrac{1}{2^{3}} = +\dfrac{1}{8}.
    Esses valores coincidem com a lista do enunciado, então o termo geral está correto.

Passo 3

Por que a sequência é alternada (mudança de sinal)?
  • O fator responsável pelo sinal é (-1)^{n}. Explicando esse expoente:
    • Se n é ímpar ( n=1,3,5,\ldots), então (-1)^{n}=-1 e o termo é negativo.
    • Se n é par ( n=2,4,6,\ldots), então (-1)^{n}=+1 e o termo é positivo.
  • Logo os sinais alternam: negativo, positivo, negativo, positivo, \ldots — isto é exatamente o que chamamos de sequência alternada.

Passo 4

Mostrar que é uma sequência geométrica e encontrar a razão.
  • Calcule a razão entre termos consecutivos: \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1}\dfrac{1}{2^{n}}}{(-1)^{n}\dfrac{1}{2^{n-1}}} = \frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^{n}}\cdot\frac{1}{2^{n}}\cdot 2^{\,n-1} = (-1)\cdot\frac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
  • A razão é constante r=-\tfrac{1}{2}, logo (a_n) é geométrica com a_1=-1 e r=-\tfrac{1}{2}.
  • Em particular pode-se escrever alternativamente a_n = a_1\,r^{\,n-1} = -1\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{\,n-1},que é algebraicamente igual a a_n = (-1)^{n}\dfrac{1}{2^{\,n-1}}.

Passo 5

Convergência: a sequência tem limite? qual?
  • Observe o valor absoluto dos termos: |a_n| = \frac{1}{2^{\,n-1}}.
  • A sequência \bigl(\tfrac{1}{2^{\,n-1}}\bigr)_{n\ge1} é geométrica positiva com razão \tfrac{1}{2} (menor que 1), portanto tende a 0 quando n\to\infty. Formalmente, para dado \varepsilon>0 existe N tal que 2^{\,N-1}>\dfrac{1}{\varepsilon}, o que implica \dfrac{1}{2^{\,n-1}}<\varepsilon para todo n\ge N.
  • Como |a_n|\to 0, força a_n\to 0 também (se o módulo tende a zero, o próprio número tende a zero).
  • Conclusão: \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 6

Monotonicidade e acotamento (boundedness)
  • Monotonicidade: a sequência não é monótona porque os sinais alternam. Por exemplo a_1=-1 < a_2=\tfrac{1}{2} e a_2>\!a_3 (pois a_3=-\tfrac{1}{4}), então não é sempre crescente nem sempre decrescente.
  • Porém a sequência dos módulos \bigl(|a_n|\bigr)=(\tfrac{1}{2^{\,n-1}}) é estritamente decrescente e tende a 0.
  • Acotamento: como |a_n|=\tfrac{1}{2^{\,n-1}}\le 1 para todo n\ge1, a sequência é limitada e vale -1\le a_n \le 1 para todo n.

Passo 7

Observações finais e dicas para prova (amigável e prático)
  • Quando vir um fator (-1)^n já acenda a lâmpada: sequência alternada. Teste n par/ímpar se precisar justificar.
  • Verifique magnitude separadamente (aqui \tfrac{1}{2^{n-1}}) para estudar limite; se essa parte tende a zero, toda a sequência tende a zero mesmo com alternância de sinais.
  • Identificar se é geométrica ajuda muito: razão constante r dá fórmula fechada e facilita testes de limite e de monotonicidade do módulo.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    • \bigl((-1)^n\bigr) não converge (os módulos não tendem a zero).
    • \bigl((-1)^n\tfrac{1}{3^n}\bigr) converge para 0 (mesma ideia que aqui, razão em módulo <1).

Resposta

A sequência é alternada (sinais trocam por causa de (-1)^n).
O termo geral é a_n = (-1)^{n}\dfrac{1}{2^{\,n-1}}.
É uma sequência geométrica com a_1=-1 e razão r=-\tfrac{1}{2}.
Converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Não é monótona (os sinais alternam), mas é limitada: -1\le a_n\le 1 e |a_n|=\dfrac{1}{2^{\,n-1}} é decrescente.

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