ou
Este é um exemplo de uma sequência alternada (ou seja, em que há alternância de sinal). Isto é garantido no termo geral pela expressão
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que vamos responder (peguei tudo do próprio enunciado):
- Sequência dada:
. - O enunciado fornece o termo geral
(ou a mesma sequência escrita como ). - Perguntas que vou responder passo a passo:
- Mostrar que a sequência é alternada (mudança de sinal) e explicar por que.
- Identificar se é uma sequência geométrica e qual a razão.
- Estudar convergência: existe limite? qual?
- Verificar monotonicidade (ou não) e se é limitada.
- Dar observações úteis para usar isso numa prova.
Passo 2
Calcular os primeiros termos a partir do termo geral para fixar a ideia.
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses valores coincidem com a lista do enunciado, então o termo geral está correto.
Passo 3
Por que a sequência é alternada (mudança de sinal)?
- O fator responsável pelo sinal é
. Explicando esse expoente: - Se
é ímpar ( ), então e o termo é negativo. - Se
é par ( ), então e o termo é positivo.
- Se
- Logo os sinais alternam: negativo, positivo, negativo, positivo,
— isto é exatamente o que chamamos de sequência alternada.
Passo 4
Mostrar que é uma sequência geométrica e encontrar a razão.
- Calcule a razão entre termos consecutivos:
- A razão é constante
, logo é geométrica com e . - Em particular pode-se escrever alternativamente
que é algebraicamente igual a .
Passo 5
Convergência: a sequência tem limite? qual?
- Observe o valor absoluto dos termos:
- A sequência
é geométrica positiva com razão (menor que 1), portanto tende a quando . Formalmente, para dado existe tal que , o que implica para todo . - Como
, força também (se o módulo tende a zero, o próprio número tende a zero). - Conclusão:
Passo 6
Monotonicidade e acotamento (boundedness)
- Monotonicidade: a sequência não é monótona porque os sinais alternam. Por exemplo
e (pois ), então não é sempre crescente nem sempre decrescente. - Porém a sequência dos módulos
é estritamente decrescente e tende a . - Acotamento: como
para todo , a sequência é limitada e vale para todo .
Passo 7
Observações finais e dicas para prova (amigável e prático)
- Quando vir um fator
já acenda a lâmpada: sequência alternada. Teste par/ímpar se precisar justificar. - Verifique magnitude separadamente (aqui
) para estudar limite; se essa parte tende a zero, toda a sequência tende a zero mesmo com alternância de sinais. - Identificar se é geométrica ajuda muito: razão constante
dá fórmula fechada e facilita testes de limite e de monotonicidade do módulo. - Exemplos rápidos para fixar:
-
não converge (os módulos não tendem a zero). -
converge para (mesma ideia que aqui, razão em módulo ).
-
Resposta
A sequência é alternada (sinais trocam por causa de
).
O termo geral é .
É uma sequência geométrica com e razão
.
Converge e .
Não é monótona (os sinais alternam), mas é limitada: e
é decrescente.
O termo geral é
É uma sequência geométrica com
Converge e
Não é monótona (os sinais alternam), mas é limitada: