Teorema 1

Já que o termo geral da sequência é
a_{n}=\frac{4 n}{n+3}
basta avaliar o limite da função
f(x)=\frac{4 x}{x+3}
quando x \rightarrow+\infty.
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x}{x+3}
Tem-se uma indeterminação do tipo " \frac{\infty}{\infty} ". Por L’Hôpital,
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4 x}{x+3}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{4}{1}=4
Portanto, a sequência é convergente e converge para 4.
Exemplo: Verifique se a sequência \left\{\frac{4 n}{n+3}\right\} é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado fornece a sequência cujo termo geral é
a_{n}=\frac{4n}{n+3},
para n\in\mathbb{N}. A tarefa é verificar se essa sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, determinar o valor do limite
\lim_{n\to\infty}a_{n}.
Informações relevantes dadas:
  • Fórmula explícita do termo geral: \,a_{n}=\dfrac{4n}{n+3}.
  • O índice n cresce para +\infty na verificação do limite.

Passo 2

O que significa “a sequência é convergente”? Vou explicar de um jeito prático antes do rigor: dizer que \{a_n\} converge para um número L significa que, quando n fica muito grande, a_n fica tão próximo de L quanto se queira. Formalmente, para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N vale |a_n-L|<\varepsilon.
Um jeito usual de calcular limites de sequências é tratar a_n como o valor de uma função real em x=n, ou seja, olhar a função
f(x)=\frac{4x}{x+3}
e calcular \lim_{x\to+\infty} f(x). Para funções racionais como essa (frações de polinômios), esse procedimento é válido porque a função é contínua para x>-3 e o comportamento para x\to\infty reflete o comportamento quando n\to\infty.
Vou usar um método simples e direto (o mais usado em prova): fatorar/normalizar por n para ver o termo dominante.

Passo 3

Faço a transformação algébrica dividindo numerador e denominador por n:
a_{n}=\frac{4n}{n+3}=\frac{4}{1+\dfrac{3}{n}}.
Esta igualdade é apenas álgebra: dividir os dois termos do denominador por n e simplificar.
Agora observe o comportamento do termo \dfrac{3}{n} quando n\to\infty. Intuitivamente, \dfrac{3}{n} fica cada vez menor e tende a 0. Então, aplicando as leis de limite (limite de soma, produto e quociente quando denominador não é zero no limite), temos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{1+\dfrac{3}{n}}=\frac{4}{1+\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{n}}=\frac{4}{1+0}=4.

Passo 4

Explico com calma as leis de limite que usei:
  • Se \lim_{n\to\infty} b_n = b então \lim_{n\to\infty} (c\cdot b_n)=c\cdot b para constante c.
  • Se \lim_{n\to\infty} b_n = b e b\neq 0, então \lim_{n\to\infty} 1/(b_n)=1/b.
    Aqui apliquei isso a b_n=1+3/n, sabendo que \lim_{n\to\infty}3/n=0. Essas propriedades seguem diretamente da definição de limite e são padrões em provas de cálculo.

Passo 5

Por que preferi a divisão por n em vez de usar a regra de L’Hôpital? Porque a expressão é racional com o mesmo grau no numerador e denominador (grau 1), e a técnica de dividir por n é mais elementar e rápida — não exige derivadas. A regra de L’Hôpital também funcionaria se tratarmos f(x)=4x/(x+3) e calcularmos \lim_{x\to\infty}f(x): derivando numerador e denominador obtém-se \lim_{x\to\infty}4/1=4. Ambos dão o mesmo resultado, mas a divisão por n é mais direta para sequências.

Passo 6

Vou apresentar uma prova \varepsilon- N curta para mostrar rigorosamente que \lim_{n\to\infty}a_n=4.
Calcule a diferença em valor absoluto:
\left|a_n-4\right|=\left|\frac{4n}{n+3}-4\right| =\left|\frac{4n-4(n+3)}{n+3}\right| =\left|\frac{-12}{n+3}\right| =\frac{12}{n+3}.
Queremos garantir \dfrac{12}{n+3}<\varepsilon. Isso é equivalente a
n+3>\frac{12}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{12}{\varepsilon}-3.
Portanto, dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher
N=\left\lceil\frac{12}{\varepsilon}-3\right\rceil
(ou qualquer inteiro maior) para que para todo n\ge N tenha |a_n-4|<\varepsilon. Isso prova formalmente que \lim_{n\to\infty}a_n=4.

Passo 7

Conclusão e incentivo rápido: a sequência é convergente e seu limite é 4. Esse tipo de problema cai muito na prova — sempre que o numerador e denominador são polinômios, dividir pelo maior grau é uma técnica salva-vidas. Você já tem um procedimento direto e também a prova formal se pedirem rigor.

Resposta

Convergente; \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=4

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