QUESTÃO 04 : (6 pontos)
Resolva a equação
.
Resolva a equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Ou seja, encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes que temos são:
- o termo trigonométrico
(valor conhecido por razões trigonométricas); - a função exponencial
(base , expoente dependente de ).
Passo 2
Vamos calcular
.
Lembrete rápido sobre tangente:
sempre que
. A tangente tem período
, isto é,
Usando essa periodicidade:
E sabe-se que
Portanto
(Se preferir visualizar no círculo trigonométrico: em
as coordenadas são
, logo
.)
Passo 3
Substituindo o resultado no enunciado, a equação fica
Rearranjando,
Passo 4
Agora um fato sobre a função exponencial com base
tal que
e
: a igualdade
ocorre se, e somente se,
. Isso porque a função
é estritamente positiva e injetora quando
. No nosso caso a base é
(que satisfaz
e
), portanto devemos ter
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
fazendo fatoração comum:
As soluções são os zeros dos fatores:
Passo 6
Verificação rápida: para
temos
e
, então a equação original fica
, verdadeira. Para
também
e novamente
, dando
. Ambas satisfazem a equação.