QUESTÃO 04 : (6 pontos)
Resolva a equação \operatorname{tg}\left(\frac{5 \pi}{4}\right)-2^{x^{2}-2 x}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right)-2^{x^{2}-2x}=0.
Ou seja, encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes que temos são:
  • o termo trigonométrico \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) (valor conhecido por razões trigonométricas);
  • a função exponencial 2^{x^{2}-2x} (base 2, expoente dependente de x).

Passo 2

Vamos calcular \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right).
Lembrete rápido sobre tangente: \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} sempre que \cos\theta\neq0. A tangente tem período \pi, isto é,
\operatorname{tg}(\theta+\pi)=\operatorname{tg}(\theta).
Usando essa periodicidade:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
E sabe-se que
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Portanto
\operatorname{tg}\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1.
(Se preferir visualizar no círculo trigonométrico: em \theta=\frac{5\pi}{4} as coordenadas são \left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right), logo \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=1.)

Passo 3

Substituindo o resultado no enunciado, a equação fica
1-2^{x^{2}-2x}=0.
Rearranjando,
2^{x^{2}-2x}=1.

Passo 4

Agora um fato sobre a função exponencial com base a tal que a>0 e a\neq1: a igualdade a^{t}=1 ocorre se, e somente se, t=0. Isso porque a função t\mapsto a^{t} é estritamente positiva e injetora quando a\neq1. No nosso caso a base é 2 (que satisfaz 2>0 e 2\neq1), portanto devemos ter
x^{2}-2x=0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática
x^{2}-2x=0
fazendo fatoração comum:
x(x-2)=0.
As soluções são os zeros dos fatores:
x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.

Passo 6

Verificação rápida: para x=0 temos x^{2}-2x=0 e 2^{0}=1, então a equação original fica 1-1=0, verdadeira. Para x=2 também x^{2}-2x=4-4=0 e novamente 2^{0}=1, dando 1-1=0. Ambas satisfazem a equação.

Resposta

x=0
x=2

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