Q15:Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(5 x-9 y+2 z, \frac{y}{6}-8 z, z\right),
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 3 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é igual ao volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(D) é menor do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z) = \bigl(5x - 9y + 2z,\;\tfrac{y}{6} - 8z,\;z\bigr)
e diz que Q é um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 com volume \,3.
Sabemos que, para uma transformação linear T dada por uma matriz A, o volume de T(Q) é \lvert\det A\rvert vezes o volume de Q.

Passo 2

Precisamos escrever a matriz de T na base canônica. Observando as componentes de T(x,y,z), vemos que
A = \begin{pmatrix} 5 & -9 & 2\\\\ 0 & \tfrac{1}{6} & -8\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz A é triangular superior, então seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det A = 5 \cdot \tfrac{1}{6} \cdot 1 = \tfrac{5}{6}.

Passo 4

O volume de T(Q) é
\bigl\lvert\det A\bigr\rvert \times \bigl(\text{volume de }Q\bigr) = \tfrac{5}{6} \times 3 = \tfrac{5}{2} = 2{,}5.

Passo 5

Como \tfrac{5}{2}<3, o volume de T(Q) é menor que o volume original de Q. Portanto a alternativa correta é:

Resposta

(D)

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