Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em
, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
.
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa-
ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
é dada em cada caso):
(c.1)
, (c.2)
, (c.3)
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa-
ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
(c.1)
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati
onde
são contínuas em um intervalo
e
. Sabemos uma solução particular
e fazemos a substituição
Vamos mostrar que isso leva a uma equação linear de primeira ordem para
, depois resolver essa equação em termos de
, e por fim aplicar o método a três casos concretos.
Passo 2
Diferenciando
obtemos
Substituindo em
e usando que
satisfaz
ficamos com
Cancelando termos iguais e multiplicando por
, obtemos
ou seja
que é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 3
A equação
tem fator integrante
Multiplicando por
vem
Logo
e por fim a solução geral de Riccati é
Passo 4
(c.1)
,
. Aqui
Então
Portanto
Passo 5
(c.2)
,
.
Então
Logo
Passo 6
(c.3)
,
.
Escrevendo em forma temos
Escrevendo em forma
Logo
Portanto
Resposta
As soluções gerais são:
(c.1) .
(c.2) .
(c.3) .
(c.1)
(c.2)
(c.3)