Equação de Ricatti: A equação
y^prime+p(t) y+q(t) y^2=f(t)
onde p(t), q(t) e f(t) são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e q(t) neq 0 em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja y1(t) uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável y(t)=y1(t)+1z(t).
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para z(t).
b) Deduza de (a) que a solução geral de uma equa-
ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular y1(t) é dada em cada caso):
(c.1) y^prime-t^3 y+t^2 y^2=1, y1(t)=t, (c.2) y^prime-t y^2+(2 t-1) y=t-1, y1(t)=1, (c.3) y^prime+y^2-(1+2 e^t) y+e^2 t=0, y1(t)=e^t.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati
y' + p(t),y + q(t),y^2 = f(t),
onde p,q,f são contínuas em um intervalo I e q(t)neq0. Sabemos uma solução particular y1(t) e fazemos a substituição
y(t) = y1(t) + 1z(t)
Vamos mostrar que isso leva a uma equação linear de primeira ordem para z, depois resolver essa equação em termos de y1, e por fim aplicar o método a três casos concretos.

Passo 2

Diferenciando y=y1+1/z obtemos
y' = y1' - z'z^2
Substituindo em
y' + p,y + q,y^2 = f
e usando que y1 satisfaz
y1'+p,y1+q,y1^2=f,
ficamos com
y1' - z'z^2 + pl(y1+1zr) + ql(y1+1zr)^2 = y1'+p,y1+q,y1^2
Cancelando termos iguais e multiplicando por z^2, obtemos
-,z' + l(p+2q,y1r),z + q = 0,
ou seja
z' - l(p(t)+2,q(t),y1(t)r),z = q(t),
que é uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 3

A equação
z' - r(t),z = q(t), r(t)=p(t)+2,q(t),y1(t),
tem fator integrante
mu(t) = expl(-integral r(t),dtr)
Multiplicando por mu vem
ddtl(z,mur) = q(t),mu(t) Longrightarrow z(t),mu(t) = C + integral q(t),mu(t),dt
Logo
z(t) = expl(!integral rr),l[C + !integral q,e^-integral rr],
e por fim a solução geral de Riccati é
y(t) = y1(t) + 1z(t) = y1(t) ;+;1expl(!integral rr),l[C + !integral q,e^-integral rr]

Passo 4

(c.1) y' - t^3y + t^2y^2=1, y1=t. Aqui
p=-t^3, q=t^2, f=1, r = p + 2q,y1 = -t^3 + 2,t^2,t = t^3
Então
mu = e^-integral t^3dt = e^-t^4/4,
z,e^-t^4/4 = C + integral t^2,e^-t^4/4,dt,
z = e^t^4/4l[C + integral t^2,e^-t^4/4,dtr]
Portanto
boxedy = t ;+; 1,e^t^4/4!l[C + integral t^2e^-t^4/4dtr],

Passo 5

(c.2) y' -t,y^2+(2t-1)y = t-1, y1=1.
p=2t-1, q=-t, f=t-1, r = p + 2q,y1 = 2t-1 -2t = -1
Então
mu = e^-integral(-1)dt = e^t, ddt(z,e^t) = -t,e^t,
z,e^t = -!integral t,e^tdt + C = -(t-1)e^t + C,
z = -(t-1) + C,e^-t = 1-t + C,e^-t
Logo
boxedy = 1 + 1,1-t + C,e^-t,,

Passo 6

(c.3) y' + y^2-(1+2e^t)y + e^2t=0, y1=e^t.
Escrevendo em forma y'+p,y+q,y^2=f temos
p=-(1+2e^t), q=1, f=0, r = p + 2q,y1 = -(1+2e^t) +2e^t = -1
Logo
mu = e^-integral(-1)dt = e^t, ddt(z,e^t) = 1cdot e^t,
z,e^t = e^t + C, z = 1 + C,e^-t
Portanto
boxedy = e^t + 1,1 + C,e^-t,,

Resposta

As soluções gerais são:
(c.1) y = t + l[e^t^4/4(C + integral t^2e^-t^4/4dt)r]^-1.
(c.2) y = 1 + 1/l(1-t + C e^-tr).
(c.3) y = e^t + 1/l(1 + C e^-tr).

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