Seja a função g(x, y)= x yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
A função g é diferenciável na origem?

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)= xyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pergunta se g é diferenciável na origem. Para isso vamos usar (a) o cálculo das derivadas parciais em (0,0) e (b) a definição de diferenciabilidade em R^2: existe um mapa linear L(x,y)=Ax+By tal que
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição unidimensional:
partial gpartial x(0,0) =limhto0g(h,0)-g(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial gpartial y(0,0) =limhto0g(0,h)-g(0,0)h =limhto00-0h=0
Logo o candidato a diferencial em (0,0) é L(x,y)=0.

Passo 3

Para verificar se realmente
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)-0raizx^2+y^2=0
vemos que
g(x,y)raizx^2+y^2 =xy(x^2+y^2)raizx^2+y^2
Tomando, por exemplo, a reta y=x, temos
g(x,x)=x^22x^2=12,
então
g(x,x)raizx^2+x^2 =tfrac12|x|raiz2 =12raiz2,|x|,
que não tende a zero quando xto0. Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)raizx^2+y^2 neq0,
logo a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função g não é diferenciável na origem.

Exercícios relacionados