Resolva:
x^3 y d y-(x^4+3 x^2 y^2+y^4) d x=0,

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^3y,dy-l(x^4+3x^2y^2+y^4r),dx=0
que podemos escrever como
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=-l(x^4+3x^2y^2+y^4r), N(x,y)=x^3y
Note que M e N são homogêneos de grau 4 (cada termo tem soma dos expoentes igual a 4). Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas:
y=u,x, dy=u,dx + x,du

Passo 2

Fazendo y=ux e dy=u,dx+x,du, substituímos na equação original:
x^3(u x)l(u,dx + x,dur) -l(x^4+3x^2(u x)^2+(u x)^4r),dx=0
Isso dá
x^4ul(u,dx + x,dur) -x^4l(1+3u^2+u^4r),dx=0
Dividindo tudo por x^4 (assumindo xneq0), obtemos
u^2,dx + x u,du -l(1+3u^2+u^4r),dx=0

Passo 3

Agrupando os termos em dx e du,
l(u^2 - (1+3u^2+u^4)r),dx + x,u,du=0 Longrightarrow -(1+2u^2+u^4),dx + x,u,du=0
Multiplicando por -1,
(1+2u^2+u^4),dx - x,u,du=0 Longrightarrow dxx = u,du1+2u^2+u^4
Agora temos uma equação separável.

Passo 4

Integramos cada lado:
integral dxx = integral u,du(u^2+1)^2
No lado esquerdo fica ln|x|. No direito, note que
(u^2+1)^2 e d(u^2+1)=2u,du, então
integral u,du(u^2+1)^2 =12integral d(u^2+1)(u^2+1)^2 =-12(u^2+1) + C
Logo
ln|x| = -12(u^2+1) + C

Passo 5

Voltando a u=y/x, temos
u^2+1 = y^2x^2+1 = x^2+y^2x^2 Longrightarrow 1u^2+1 = x^2x^2+y^2
Assim a solução implícita é
ln|x| = -12;x^2x^2+y^2 + C Long<=ftrightarrow x^2x^2+y^2 + 2ln|x| = C'

Resposta

boxedx^2x^2+y^2 + 2lnlvert xrvert = C

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