Resolva:
2 x y d y+(x^2+y^2) d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2,x,y,dy + l(x^2+y^2r),dx = 0
Este tipo de equação pode ser encarado como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com M(x,y)=x^2+y^2 e N(x,y)=2xy. O método aqui é verificar se é exata e, em caso positivo, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M, partial Phipartial y=N

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar Phi(x,y), integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (x^2+y^2),dx = x^33 + x,y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Usamos a outra condição partial Phi/partial y = N:
partial Phipartial y = 2x,y + h'(y) = 2x,y Longrightarrow h'(y)=0
Logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral fica então dada implicitamente por
Phi(x,y) = x^33 + x,y^2 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^33 + x,y^2 = C

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