Questão 1. Resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI). O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo linear e uma condição inicial:
Vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique na forma padrão:
Aqui, dividimos ambos os lados da equação original por $ t $ para isolar
.
Passo 3
Agora, identificamos o coeficiente que multiplica $ y $, que é
. Esse coeficiente é usado para encontrar o fator integrante. O fator integrante ($ \mu(t) $) é dado por:
Então, o fator integrante é $ t $.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Perceba que isso é equivalente à equação original. O objetivo é que a parte da esquerda seja a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y $.
Passo 5
De fato, podemos escrever:
Isso porque:
Assim, temos uma equação mais simples para integrar.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Do lado esquerdo, a integral é simplesmente $ t y $.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
Passo 8
Então, temos:
Agora, resolvemos para $ y $:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = 0 $:
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \sin(\pi) = 0 $, então:
Resolvendo para $ C $:
Resposta
A solução do PVI é: