Questão 1. Resolva o PVI.
t d yd t+y=t sin (t) ; y(pi)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI). O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo linear e uma condição inicial:
t d yd t + y = t sin(t) ; y(pi) = 0
Vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique na forma padrão:
dydt + 1t y = sin(t)
Aqui, dividimos ambos os lados da equação original por $ t $ para isolar t .

Passo 3

Agora, identificamos o coeficiente que multiplica $ y $, que é y . Esse coeficiente é usado para encontrar o fator integrante. O fator integrante ($ \mu(t) $) é dado por:
1t
Então, o fator integrante é $ t $.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
t cdot dydt + y = t sin(t)
Perceba que isso é equivalente à equação original. O objetivo é que a parte da esquerda seja a derivada do produto $ \mu(t) \cdot y $.

Passo 5

De fato, podemos escrever:
ddt(t y) = t sin(t)
Isso porque:
ddt(t y) = t dydt + y
Assim, temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Do lado esquerdo, a integral é simplesmente $ t y $.

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin(t) dt Rightarrow v = -cos(t)
Aplicando a fórmula de integração por partes ($ \int u , dv = uv - \int v , du $):
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 8

Então, temos:
t y = -t cos(t) + sin(t) + C
Agora, resolvemos para $ y $:
y

Passo 9

Aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = 0 $:
y(pi) = 0
Sabemos que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \sin(\pi) = 0 $, então:
0 = -cos(pi) + sin(pi)pi + Cpi
Resolvendo para $ C $:
cos(pi) = -1

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = -cos(t) + sin(t)t - pit

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