Uma equação de Riccati tem a forma:
d yd x=y^2+p(x) y+q(x)
Mostre que, se uma solução particular y1(x) é conhecida, a substituição y=y1+1u leva a uma equação linear para u. Use isso para resolver:
d yd x=y^2-y

Passo 1

O enunciado trata de uma equação de Riccati da forma
dydx=y^2+p(x),y+q(x)
e pede que mostremos que, conhecendo uma solução particular y1(x), a substituição
y=y1+1u
transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem em u. Em seguida, aplicaremos isso para resolver
dydx=y^2-y,
isto é, com p(x)=-1 e q(x)=0.

Passo 2

Mostramos a transformação no caso geral. Suponha y1(x) tal que
dy1dx=y1^2+p(x),y1+q(x)
Faça a troca
y=y1+1u
Então
dydx =dy1dx-1u^2dudx
Por outro lado,
y^2+p,y+q =l(y1+1ur)^2 +pl(y1+1ur)+q =y1^2+p,y1+q +2,y1u+1u^2+pu
Como y1 satisfaz a Riccati, substituímos y1^2+p,y1+q por dy1/dx e igualamos as duas expressões de dy/dx:
dy1dx-1u^2dudx =dy1dx +2,y1u +1u^2 +pu
Cancelando ,dy1/dx e multiplicando por -u^2 obtemos
dudx+(2,y1+p),u=-1,
que é uma equação linear em u.

Passo 3

Agora aplicamos ao caso
dydx=y^2-y,
em que p(x)=-1 e q(x)=0. Precisamos de uma solução particular y1. Da equação estática y^2-y=0 vêm y1=0 ou y1=1. Escolhemos, por simplicidade,
y1(x)=0

Passo 4

Com y1=0 e p=-1, a equação linear para u é
dudx+l(2cdot0+(-1)r)u=-1 Longrightarrow dudx-u=-1
Esse é um problema padrão: fator integrante mu(x)=e^-x. Multiplicando por mu:
e^-xdudx-e^-xu =ddxl(e^-xur) =-e^-x
Integrando,
e^-xu=-integral e^-xdx =-(-e^-x)+C =e^-x+C,
ou seja
u(x)=1+Ce^x

Passo 5

Voltando à substituição y=y1+1u com y1=0, obtemos a solução geral
y(x)=1u(x) =1,1+Ce^x,,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x)=11+Ce^x, CinR

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