Uma equação de Riccati tem a forma:
Mostre que, se uma solução particular
é conhecida, a substituição
leva a uma equação linear para
. Use isso para resolver:
Passo 1
O enunciado trata de uma equação de Riccati da forma
e pede que mostremos que, conhecendo uma solução particular
, a substituição
transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem em
. Em seguida, aplicaremos isso para resolver
isto é, com
e
.
Passo 2
Mostramos a transformação no caso geral. Suponha
tal que
Faça a troca
Então
Por outro lado,
Como
satisfaz a Riccati, substituímos
por
e igualamos as duas expressões de
:
Cancelando
e multiplicando por
obtemos
que é uma equação linear em
.
Passo 3
Agora aplicamos ao caso
em que
e
. Precisamos de uma solução particular
. Da equação estática
vêm
ou
. Escolhemos, por simplicidade,
Passo 4
Com
e
, a equação linear para
é
Esse é um problema padrão: fator integrante
. Multiplicando por
:
Integrando,
ou seja
Passo 5
Voltando à substituição
com
, obtemos a solução geral
onde
é constante arbitrária.