A equação x^2-b=0 tem como raiz exata raizb. Aplique o método de Newton para obter raiz3356 com precisão 10^-4 se estiver usando um computador e precisão 10^-2 se estiver usando uma calculadora não programável.

Passo 1

Beleza, exercício: a gente quer aproximar √3356 usando o método de Newton. O conteúdo aqui é “método de Newton” para achar raízes de equações, no caso f(x)=x²–b=0, que tem raiz exata √b. Para isso precisamos:
  1. Saber a fórmula do método de Newton: xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
    2. No nosso caso, f(x)=x²–3356, então f′(x)=2x, e a iteração vira
    xn+1 = xn + 3356xn2
  2. Escolher um chute inicial razoável (x₀).
  3. Iterar até que |x_{n+1}–x_n| < 10⁻⁴ (precisão de computador).

Passo 2

Escrevendo a fórmula específica:
xn+1 = xn + 3356xn2
Isso vem de substituir f e f′ na definição do método de Newton:
- f(x)=x²–3356
- f′(x)=2x
Logo
xn+1 = xn - xn^2-33562xn = 2xn^2 - (xn^2-3356)2xn = xn^2+33562xn = xn + 3356/xn2

Passo 3

Agora escolhemos um x₀. Uma dica rápida: √3364=58, então √3356 deve ficar perto de 58. Vou usar x₀=60.
Iteramos até |x_{n+1}–x_n| < 10⁻⁴:
  1. n=0: x₀=60
    x1 = 60 + 3356/602 = 60 + 55.93332 = 57.96665
  2. n=1: x₁≈57.96665
    x2 = 57.96665 + 3356/57.966652 = 57.96665 + 57.911412 = 57.93903
  3. n=2: x₂≈57.93903
    x3 = 57.93903 + 3356/57.939032 approx 57.93903 + 57.939022 = 57.93902
Diferenças:
  • |x₁–x₀| ≈2.03
  • |x₂–x₁| ≈0.0276
  • |x₃–x₂| ≈0.00001 <10⁻⁴ → para!

Resposta

√3356 ≈ 57.9390 (precisão de 10⁻⁴).

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