A equação
tem como raiz exata
. Aplique o método de Newton para obter
com precisão
se estiver usando um computador e precisão
se estiver usando uma calculadora não programável.
Passo 1
Beleza, exercício: a gente quer aproximar √3356 usando o método de Newton. O conteúdo aqui é “método de Newton” para achar raízes de equações, no caso f(x)=x²–b=0, que tem raiz exata √b. Para isso precisamos:
- Saber a fórmula do método de Newton:
2. No nosso caso, f(x)=x²–3356, então f′(x)=2x, e a iteração vira
- Escolher um chute inicial razoável (x₀).
- Iterar até que |x_{n+1}–x_n| < 10⁻⁴ (precisão de computador).
Passo 2
Escrevendo a fórmula específica:
Isso vem de substituir f e f′ na definição do método de Newton:
- f(x)=x²–3356
- f′(x)=2x
Logo
Passo 3
Agora escolhemos um x₀. Uma dica rápida: √3364=58, então √3356 deve ficar perto de 58. Vou usar x₀=60.
Iteramos até |x_{n+1}–x_n| < 10⁻⁴:
Iteramos até |x_{n+1}–x_n| < 10⁻⁴:
-
n=0: x₀=60
-
n=1: x₁≈57.96665
-
n=2: x₂≈57.93903
Diferenças:
- |x₁–x₀| ≈2.03
- |x₂–x₁| ≈0.0276
- |x₃–x₂| ≈0.00001 <10⁻⁴ → para!
Resposta
√3356 ≈ 57.9390 (precisão de 10⁻⁴).