A equação x^2+t=0 possui raiz real somente se t <= 0. Faça t=0 e aplique os métodos: bisseç̧ão, Newton e secante com as seguintes aproximações iniciais (use varepsilon=10^-4):
Repita o exercício para um valor de t estritamente positivo e usando as mesmas aproximações iniciais.
Justifique o comportamento da sequência gerada em cada caso, considerando as hipóteses de convergência de cada método.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer achar raízes de
x^2 + t = 0
usando três métodos numéricos (bisseção, Newton e secante) com tolerância . A parada pede:
  1. Primeiro faz (aí a equação vira , raiz dupla em ).
  2. Depois repete pra um (aí não tem raiz real).
    Pra resolver isso você precisa saber:
  • Critério da bisseção (precisa de troca de sinal de pra ).
  • Fórmula e condição de convergência do método de Newton (derivada não nula na raiz simples).
  • Fórmula e condição do método da secante (duas aproximações iniciais e comportamento perto de raízes simples).

Passo 2

Caso f(x) = x^2 , a função é
Bisseção: precisamos de um intervalo com . Mas para todo , então não há troca de sinal. Logo não dá pra aplicar bisseção.

Passo 3

Ainda em xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - xn^22xn = xn2 , Newton: a iteração é
x1=tfrac12, x2=tfrac14, x3=tfrac18,;dots,; xn=12^n
Se a gente começar, por exemplo, em 12^n<10^-4 Longrightarrow n>log2(10^4)approx13,3 , então
Para parar em precisamos de
ou seja 14 iterações até chegar abaixo de . O método converge, mas apenas linearmente (fator ) porque a raiz é dupla ( ).

Passo 4

Ainda xn+1 =xn-1,f(xn)-xn,f(xn-1) f(xn)-f(xn-1) =xn-1,xnxn-1+xn , Secante: escolhemos, digamos, x2=tfrac23,; x3=0,5,; x4approx0,2857,; x5approx0,1818,;dots e . A regra da secante para pode ser escrita como
Calculando algumas iterações:
Em torno de 21 iterações a gente atinge . Ou seja, também converge para , mas mais devagar que Newton, pois a raiz dupla estraga a ordem super‐linear da secante.

Passo 5

Agora pega f(x)=x^2+1>0forall x (por exemplo ), então
Bisseção: não existe com troca de sinal ( nunca é negativo), logo falha de novo.

Passo 6

Em xn+1 = xn - xn^2+12xn = xn2-12xn , Newton:
x1=tfrac12-tfrac12=0,
Se eu começo em , já caio em
mas aí e o método quebra (divisão por zero). Se usar outra aproximação, por exemplo , a sequência entra em valores negativos e “oscilaço” sem convergir. Em resumo: não converge, pois não há raiz real para aproximar e as hipóteses de Newton falham.

Passo 7

Em x2=tfrac23,;x3=0,5,;x4approx0,2857,;dots , Secante com :
a fórmula da secante ainda gera
Mas, sem nenhuma raiz real, essa sequência acaba oscilando e, no limite, dá divisão por números muito pequenos ou se afasta—sem convergir. As hipóteses de derivada não‐nula em ponto de raiz e existência de raiz falham.

Resposta

Para :
• Bisseção: impossível (sem troca de sinal).
• Newton: converge linearmente a em 14 iterações.
• Secante: converge também a , mas leva cerca de 21 iterações (ordem inferior a 2).
Para :
• Bisseção, Newton e Secante não convergem, já que não existe raiz real e as condições de convergência de cada método são violadas.

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