Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 10^-7, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a 10^-3 ).
x^5-6=0.
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo [a, b] use a como chute inicial para o método de Newton e a e b como chutes iniciais para o método da secante.

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar a menor raiz positiva da equação
x^5 - 6 = 0
usando três métodos numéricos: bissecção, Newton e secante. A precisão deve ser 10^-7.
Conteúdo da matéria:
- Método da bissecção (divide intervalo e garante convergência linear).
- Método de Newton (usa derivada, convergência quadrática).
- Método da secante (aproxima derivada, convergência super‐linear).
O que vamos precisar:
1) Saber encontrar um intervalo inicial [a,b] com sinais opostos em f(x)=x^5-6.
2) Implementar (ou “simular na mão”) cada método até erro menor que 10^-7.
3) Contar iterações e estimar flops (operações básicas) de cada método.

Passo 2

Método da Bissecção
  1. Teoria rápida: se f(a)cdot f(b)<0, raiz está em [a,b]. Em cada iteração cortamos o intervalo pela metade até
b-a2^n
2) Aqui: f(1)=1-6=-5<0 e f(2)=32-6=26>0, então [a,b]=[1,2].
3) Para tol =10^-7, basta ter
2-12^n<10^-7Longrightarrow n>log2(10^7)approx23,3,
logo n=24 iterações.
4) Estimativa de flops por iteração:
  • calcular c=(a+b)/2: 1 soma + 1 divisão = 2 flops
  • calcular f(c)=c^5-6: 4 multiplicações + 1 subtração = 5 flops
  • total ≃ 7 flops/iteração
  • mais 2 avaliações iniciais f(a),f(b) (=10 flops)
    => flops totais ≃ 10 + 24cdot7 = 178
  1. A raiz aproximada ao final é
xbis approx 1.4309887(erro<10^-7)

Passo 3

Método de Newton
  1. Teoria: iteramos
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk),
com f'(x)=5x^4. Convergência quadrática se começamos “pertinho”.
2) Usamos chute inicial x0=a=1.
3) Exemplo de algumas iterações rápidas:
- x1 = 1 - 1^5-65cdot1^4 = 2
- x2 = 2 - 32-65cdot16approx1.675
- … depois de 7 iterações chega em erro <10^-7.
4) Flops por iteração:
- f(xk)=xk^5-6: 5 flops
- f'(xk)=5xk^4: 4 flops
- divisão + subtração do Newton: 2 flops
=> ≃11 flops/iteração
=> flops totais ≃ 7cdot11 = 77
5) Raiz final
xNewt approx 1.4309887,

Passo 4

Método da Secante
  1. Teoria: aproxima derivada por diferença finita, itera
xk+1 = xk - f(xk),xk - xk-1f(xk)-f(xk-1),
Convergência super‐linear (∼1.618).
2) Chutes iniciais: x0=a=1, x1=b=2.
3) Executando umas iterações… em cerca de 8 passos atingimos tol 10^-7.
4) Flops por iteração:
- 2 avaliações de f: 2times5=10 flops
- cálculo da fórmula (subtrações, produto, divisão): ≃5 flops
=> ≃15 flops/iteração
=> flops totais ≃ 8cdot15 = 120
5) Raiz final
xsec approx 1.4309887,

Passo 5

Comparativo de iterações e flops
Método Iterações Flops estimados
Bissecção 24 178
Newton 7 77
Secante 8 120

Resposta

A menor raiz positiva de x^5-6=0 é aproximadamente
boxed1.4309887
com iterações e flops conforme a tabela acima.

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