Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão
, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a
).
.
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo
use
como chute inicial para o método de Newton e
e
como chutes iniciais para o método da secante.
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra gente achar a menor raiz positiva da equação
usando três métodos numéricos: bissecção, Newton e secante. A precisão deve ser
Conteúdo da matéria:
- Método da bissecção (divide intervalo e garante convergência linear).
- Método de Newton (usa derivada, convergência quadrática).
- Método da secante (aproxima derivada, convergência super‐linear).
O que vamos precisar:
1) Saber encontrar um intervalo inicial
2) Implementar (ou “simular na mão”) cada método até erro menor que
3) Contar iterações e estimar flops (operações básicas) de cada método.
Passo 2
Método da Bissecção
- Teoria rápida: se
, raiz está em . Em cada iteração cortamos o intervalo pela metade até
2) Aqui:
3) Para tol
logo
iterações.
4) Estimativa de flops por iteração:
4) Estimativa de flops por iteração:
- calcular
: 1 soma + 1 divisão = 2 flops - calcular
: 4 multiplicações + 1 subtração = 5 flops - total ≃ 7 flops/iteração
- mais 2 avaliações iniciais
(=10 flops)
=> flops totais ≃
- A raiz aproximada ao final é
Passo 3
Método de Newton
- Teoria: iteramos
com
2) Usamos chute inicial
3) Exemplo de algumas iterações rápidas:
-
-
- … depois de 7 iterações chega em erro
4) Flops por iteração:
-
-
- divisão + subtração do Newton: 2 flops
=> ≃11 flops/iteração
=> flops totais ≃
5) Raiz final
Passo 4
Método da Secante
- Teoria: aproxima derivada por diferença finita, itera
Convergência super‐linear (∼1.618).
2) Chutes iniciais:
3) Executando umas iterações… em cerca de 8 passos atingimos tol
4) Flops por iteração:
- 2 avaliações de
- cálculo da fórmula (subtrações, produto, divisão): ≃5 flops
=> ≃15 flops/iteração
=> flops totais ≃
5) Raiz final
Passo 5
Comparativo de iterações e flops
Método | Iterações | Flops estimados |
Bissecção | 24 | 178 |
Newton | 7 | 77 |
Secante | 8 | 120 |
Resposta
A menor raiz positiva de
é aproximadamente
com iterações e flops conforme a tabela acima.