(Equação da Velocidade) Uma partícula realiza um MHS com uma amplitude de A=10 \mathrm{~cm} e uma frequência angular de \omega=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é o módulo da velocidade da partícula no exato instante em que ela cruza a posição x=6 \mathrm{~cm} ?
a) 8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
b) 12 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
c) 16 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
d) 20 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
e) 32 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o módulo da velocidade da partícula no instante em que ela cruza a posição x=6\\ \mathrm{cm}.
Informações fornecidas:
  • Amplitude: A=10\\ \mathrm{cm}.
  • Frequência angular: \omega=2\\ \mathrm{rad/s}.
  • Posição a ser considerada: x=6\\ \mathrm{cm}.
Objetivo claro: calcular |v| quando x=6\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Modelo do movimento harmônico simples (MHS) e definição das variáveis.
Em MHS a posição como função do tempo pode ser escrita genericamente por
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • x(t) é a posição no instante t,
  • A é a amplitude máxima do movimento,
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a fase inicial (depende das condições iniciais).
A velocidade é a derivada temporal de x(t). Derivando:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Aqui v(t) pode ser positiva ou negativa; o enunciado pede o módulo |v|.

Passo 3

Relacionando velocidade com posição (sem precisar conhecer \varphi nem t).
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. Como \cos(\omega t+\varphi)=x(t)/A, temos
\sin^2\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=1-\cos^2\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=1-\left(\frac{x(t)}{A}\right)^2.
Substituindo em v(t)^2:
v(t)^2 = A^2\omega^2\sin^2\bigl(\omega t+\varphi\bigr) = A^2\omega^2\left(1-\left(\frac{x(t)}{A}\right)^2\right).
Simplificando:
v(t)^2 = \omega^2\bigl(A^2 - x(t)^2\bigr).
Como queremos o módulo da velocidade:
|v(t)| = \omega\sqrt{A^2 - x(t)^2}.
Explicação curta do porquê: essa fórmula vem do fato de que a energia cinética máxima ocorre quando x=0 e é \tfrac12 m(A\omega)^2; em qualquer posição x parte da energia está em potencial elástica e o resto em cinética — o resultado é a mesma relação acima. Mas a dedução por identidade trigonométrica é direta e independente da fase.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso dado.
Temos A=10\\ \mathrm{cm}, x=6\\ \mathrm{cm}, \omega=2\\ \mathrm{rad/s}. Então
|v|=\omega\sqrt{A^2 - x^2} =2\sqrt{(10)^2-(6)^2}\\ \mathrm{cm/s}.
Calcule dentro da raiz:
(10)^2-(6)^2=100-36=64.
Logo
|v|=2\sqrt{64}=2\cdot 8=16\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 5

Breve checagem conceitual (para fixar): a velocidade máxima no MHS é v_{\max}=A\omega. Aqui A\omega=10\cdot2=20\\ \mathrm{cm/s}. Como x=6\\ \mathrm{cm} é menor que A, a velocidade será menor que 20\\ \mathrm{cm/s}; nosso valor 16\\ \mathrm{cm/s} faz sentido e está entre 0 e 20\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

c) 16\\ \mathrm{cm/s}

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