(Equação da Velocidade) Uma partícula realiza um MHS com uma amplitude de
e uma frequência angular de
. Qual é o módulo da velocidade da partícula no exato instante em que ela cruza a posição
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o módulo da velocidade da partícula no instante em que ela cruza a posição
.
Informações fornecidas:
- Amplitude:
. - Frequência angular:
. - Posição a ser considerada:
.
Objetivo claro: calcular
quando
.
Passo 2
Modelo do movimento harmônico simples (MHS) e definição das variáveis.
Em MHS a posição como função do tempo pode ser escrita genericamente por
onde:
-
é a posição no instante , -
é a amplitude máxima do movimento, -
é a frequência angular (em ), -
é a fase inicial (depende das condições iniciais).
A velocidade é a derivada temporal de
. Derivando:
Aqui
pode ser positiva ou negativa; o enunciado pede o módulo
.
Passo 3
Relacionando velocidade com posição (sem precisar conhecer
nem
).
Usamos a identidade trigonométrica
. Como
, temos
Substituindo em
:
Simplificando:
Como queremos o módulo da velocidade:
Explicação curta do porquê: essa fórmula vem do fato de que a energia cinética máxima ocorre quando
e é
; em qualquer posição
parte da energia está em potencial elástica e o resto em cinética — o resultado é a mesma relação acima. Mas a dedução por identidade trigonométrica é direta e independente da fase.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso dado.
Temos
,
,
. Então
Calcule dentro da raiz:
Logo
Passo 5
Breve checagem conceitual (para fixar): a velocidade máxima no MHS é
. Aqui
. Como
é menor que
, a velocidade será menor que
; nosso valor
faz sentido e está entre
e
.
Resposta
c)