(Período do Sistema Massa-Mola) Um sistema massa-mola horizontal padrão possui um período de oscilação igual a
. Se a massa atrelada ao sistema for quadruplicada e a constante elástica da mola for reduzida à metade, qual será o novo período de oscilação do sistema em função de
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá:
- O período inicial do sistema massa-mola é
. - A massa é quadruplicada: a nova massa é
vezes a original. - A constante elástica da mola é reduzida à metade: a nova constante é
da original.
O que se pede: - Determinar o novo período do sistema em função de
.
Passo 2
Fórmula básica e significado das variáveis:
onde:
-
é o período de oscilação, -
é a massa presa à mola, -
é a constante elástica da mola.
Breve motivação (sem pular etapas): a equação do movimento para pequenas oscilações é. A solução é harmônica com frequência angular . Como o período é , substituindo obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Denotar as quantidades originais por
e
. Pelo enunciado temos o período original
Passo 4
Aplicar as mudanças dadas:
- nova massa
, - nova constante
.
O novo período é
Substituindo
e
e simplificando passo a passo:
Agora relacionando com
:
Como
, finalmente
Passo 5
Interpretação rápida e motivação para a prova: quadruplicar
tende a aumentar
por um fator
; reduzir
à metade tende a aumentar
por um fator
. Juntando os dois efeitos obtém-se multiplicar
por
.
Resposta
c)