(Período do Sistema Massa-Mola) Um sistema massa-mola horizontal padrão possui um período de oscilação igual a T. Se a massa atrelada ao sistema for quadruplicada e a constante elástica da mola for reduzida à metade, qual será o novo período de oscilação do sistema em função de T ?
a) T
b) 2 T
c) 2 \sqrt{2} T
d) 4 T
e) 8 T

Passo 1

O enunciado dá:
  • O período inicial do sistema massa-mola é T.
  • A massa é quadruplicada: a nova massa é 4 vezes a original.
  • A constante elástica da mola é reduzida à metade: a nova constante é \tfrac{1}{2} da original.
    O que se pede:
  • Determinar o novo período do sistema em função de T.

Passo 2

Fórmula básica e significado das variáveis:
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
onde:
  • T é o período de oscilação,
  • m é a massa presa à mola,
  • k é a constante elástica da mola.
    Breve motivação (sem pular etapas): a equação do movimento para pequenas oscilações é m\ddot{x}+kx=0. A solução é harmônica com frequência angular \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Como o período é T=\dfrac{2\pi}{\omega}, substituindo \omega obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Denotar as quantidades originais por m e k. Pelo enunciado temos o período original
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Passo 4

Aplicar as mudanças dadas:
  • nova massa m' = 4m,
  • nova constante k' = \dfrac{k}{2}.
    O novo período é
T' = 2\pi\sqrt{\frac{m'}{k'}}.
Substituindo m' e k' e simplificando passo a passo:
T' = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k/2}}
T' = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{1}\cdot\frac{2}{k}}
T' = 2\pi\sqrt{\frac{8m}{k}}
Agora relacionando com T:
T' = \sqrt{8}\;2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{8}\,T.
Como \sqrt{8}=2\sqrt{2}, finalmente
T' = 2\sqrt{2}\,T.

Passo 5

Interpretação rápida e motivação para a prova: quadruplicar m tende a aumentar T por um fator \sqrt{4}=2; reduzir k à metade tende a aumentar T por um fator \sqrt{2}. Juntando os dois efeitos obtém-se multiplicar T por 2\sqrt{2}.

Resposta

c) 2\sqrt{2}\,T

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