Uma função de 2° grau é tal que f(0)=6, f(1)=2 e f(-2)=20, determine a lei de formação e calcule f(1/2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de 2° grau, que é tipo uma parábola, e sabemos três valores dela: $ f(0) = 6 $, $ f(1) = 2 $ e $ f(-2) = 20 $. Nosso objetivo é descobrir qual é a equação dessa função e, depois, calcular $ f\left(\frac{1}{2}\right) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma função de 2° grau. Ela é dada por:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar os valores que foram dados para montar um sistema de equações. Cada valor de $ f(x) $ vai nos dar uma equação diferente.
- Quando $ x = 0 $:
Então, já sabemos que $ c = 6 $.
- Quando $ x = 1 $:
- Quando $ x = -2 $:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira simples é multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a soma:
Somando as duas equações:
Agora, substituindo $ a = 1 $ na primeira equação:
Passo 5
Agora que temos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, podemos escrever a lei da função:
Passo 6
Por último, vamos calcular $ f\left(\frac{1}{2}\right) $. Substituindo $ x = \frac{1}{2} $ na função:
Resposta
A lei de formação da função é $ f(x) = x^2 - 5x + 6 $ e $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 3,75 $.