Uma função de 2° grau é tal que f(0)=6, f(1)=2 e f(-2)=20, determine a lei de formação e calcule f(1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de 2° grau, que é tipo uma parábola, e sabemos três valores dela: $ f(0) = 6 $, $ f(1) = 2 $ e $ f(-2) = 20 $. Nosso objetivo é descobrir qual é a equação dessa função e, depois, calcular $ f\left(\frac{1}{2}\right) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma função de 2° grau. Ela é dada por:
f(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar os valores que foram dados para montar um sistema de equações. Cada valor de $ f(x) $ vai nos dar uma equação diferente.
  1. Quando $ x = 0 $:
f(x)
Então, já sabemos que $ c = 6 $.
  1. Quando $ x = 1 $:
x = 0
f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 6
c = 6
  1. Quando $ x = -2 $:
x = 1
f(1) = a(1)^2 + b(1) + 6 = a + b + 6 = 2
a + b = 2 - 6

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = -4 4a - 2b = 14
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira simples é multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a soma:
2a + 2b = -8 4a - 2b = 14
Somando as duas equações:
(2a + 2b) + (4a - 2b) = -8 + 14 6a = 6 a = 1
Agora, substituindo $ a = 1 $ na primeira equação:
a = 1

Passo 5

Agora que temos os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, podemos escrever a lei da função:
a
b

Passo 6

Por último, vamos calcular $ f\left(\frac{1}{2}\right) $. Substituindo $ x = \frac{1}{2} $ na função:
f(12)

Resposta

A lei de formação da função é $ f(x) = x^2 - 5x + 6 $ e $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 3,75 $.

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