Sabendo que f é uma função quadrática tal que f(0)= - 4, f(3)= 8 e f( -2)= 4, calcule o valor de f(-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor de $ f(-3) $ para uma função quadrática $ f $ que passa por três pontos: $ f(0) = -4 $, $ f(3) = 8 $ e $ f(-2) = 4 $. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma função quadrática tem a forma geral:
f(x) = ax^2 + bx + c
onde $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que $ f(0) = -4 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na equação geral:
f(0) = -4
Então:
x = 0

Passo 4

Agora, usamos o ponto $ f(3) = 8 $. Substituindo $ x = 3 $ na equação:
f(3) = 8
Simplificando:
x = 3
8 = a(3)^2 + b(3) + (-4)
Podemos dividir tudo por 3 para simplificar:
8 = 9a + 3b - 4 çã

Passo 5

Utilizamos o terceiro ponto $ f(-2) = 4 $. Substituindo $ x = -2 $:
f(-2) = 4
Simplificando:
x = -2
4 = a(-2)^2 + b(-2) + (-4)
Dividindo tudo por 2:
4 = 4a - 2b - 4 çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
3a + b = 4 (Equação 1) 2a - b = 4 (Equação 2) çãçã
Vamos somar as duas equações para eliminar $ b $:
b
(3a + b) + (2a - b) = 4 + 4
5a = 8

Passo 7

Com o valor de $ a $, voltamos para a Equação 1 para encontrar $ b $:
a
b
3(85) + b = 4
245 + b = 4
b = 4 - 245

Passo 8

Agora que temos $ a = \frac{8}{5} $, $ b = -\frac{4}{5} $ e $ c = -4 $, podemos escrever a função quadrática completa:
a = 85

Passo 9

Por último, vamos calcular $ f(-3) $ substituindo $ x = -3 $ na função:
f(-3)
x = -3
f(-3) = 85(-3)^2 - 45(-3) - 4
f(-3) = 85(9) + 125 - 4
f(-3) = 725 + 125 - 4
f(-3) = 845 - 4

Resposta

O valor de $ f(-3) $ é 12,8.

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