A equação x y=1 representa uma curva plana em relação ao sistema ortogonal de coordenadas \mathrm{S}=(\mathrm{O}, \mathrm{i}, \mathrm{j}). Encontre a equação dessa curva em relação ao sistema \mathrm{S}^{\prime}=(\mathrm{O}, \mathrm{u}, \mathrm{v}) onde \mathrm{u}=( raiz(2)/2) \mathrm{i}+( raiz(2)/2) j, v=-(raiz(2)/2) i + (raiz(2)/2) j

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por
x\,y=1
no sistema cartesiano \mathrm S=(O,i,j) e pede a equação da mesma curva no sistema rotacionado \mathrm S'=(O,u,v), em que
u = \frac{\sqrt{2}}{2}\,i + \frac{\sqrt{2}}{2}\,j, \qquad v = -\frac{\sqrt{2}}{2}\,i + \frac{\sqrt{2}}{2}\,j.
O conteúdo aqui é mudança de coordenadas via rotação de 45^\circ.

Passo 2

Seja P um ponto qualquer da curva. No sistema original,
\overrightarrow{OP} = x\,i + y\,j.
No sistema rotacionado, também podemos escrever
\overrightarrow{OP} = u\,u_{\text{ˆ}} + v\,v_{\text{ˆ}},
onde u_{\text{ˆ}} e v_{\text{ˆ}} são os versores dados. Igualando as componentes em i e j, obtemos
x = \frac{\sqrt{2}}{2}\,u \;+\;\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\,v =\frac{\sqrt{2}}{2}(u - v),
y = \frac{\sqrt{2}}{2}\,u \;+\;\frac{\sqrt{2}}{2}\,v =\frac{\sqrt{2}}{2}(u + v).

Passo 3

Substituímos essas expressões em \,x\,y=1:
\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}(u - v)\Bigr)\, \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}(u + v)\Bigr) =1.
Como \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2=\tfrac12, segue
\tfrac12\,(u - v)(u + v)=1 \quad\Longrightarrow\quad u^2 - v^2 = 2.

Resposta

u^2 - v^2 = 2.

Exercícios relacionados