Muitas vezes, uma Transformação Linear (TL) é dada da seguinte forma
T(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z)=(\underbrace{3 x+2 y-4 z}{\boldsymbol{s}}, \underbrace{x-5 y+3 z}{\boldsymbol{t}})
Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de T(u) na base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (s,t) = (3x + 2y - 4z,\; x - 5y + 3z)
e as bases \mathcal{A} = \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\} em \mathbb{R}^3, com \boldsymbol{u}_1=(1,1,1), \boldsymbol{u}_2=(1,1,0), \boldsymbol{u}_3=(1,0,0),
e \mathcal{B} = \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} em \mathbb{R}^2, com \boldsymbol{v}_1=(1,3), \boldsymbol{v}_2=(2,5).
Precisamos encontrar, para cada \boldsymbol{u}_j, os escalares c_{1j},c_{2j} tais que
T(\boldsymbol{u}_j) \;=\; c_{1j}\,\boldsymbol{v}_1 \;+\; c_{2j}\,\boldsymbol{v}_2,
ou seja, as coordenadas [T(\boldsymbol{u}_j)]_{\mathcal{B}} = (c_{1j},c_{2j}).

Passo 2

Calculemos T em cada vetor da base \mathcal{A}:
  1. Para \boldsymbol{u}_1=(1,1,1):
    s = 3\cdot1 + 2\cdot1 - 4\cdot1 = 3 + 2 - 4 = 1,
    t = 1 - 5\cdot1 + 3\cdot1 = 1 -5 +3 = -1.
    Logo T(\boldsymbol{u}_1) = (1,-1).
  2. Para \boldsymbol{u}_2=(1,1,0):
    s = 3\cdot1 + 2\cdot1 - 4\cdot0 = 3 + 2 = 5,
    t = 1 - 5\cdot1 + 3\cdot0 = 1 -5 = -4.
    Logo T(\boldsymbol{u}_2) = (5,-4).
  3. Para \boldsymbol{u}_3=(1,0,0):
    s = 3\cdot1 + 2\cdot0 - 4\cdot0 = 3,
    t = 1 - 5\cdot0 + 3\cdot0 = 1.
    Logo T(\boldsymbol{u}_3) = (3,1).

Passo 3

Queremos resolver, para um genérico (s,t)\), o sistema \[c_1\,(1,3) + c_2\,(2,5) = (s,t),
isto é
\begin{cases} c_1 + 2c_2 = s,\\\\ 3c_1 +5c_2 = t. \end{cases}
Da primeira equação c_1 = s - 2c_2\]. Substituindo na segunda: \[3(s - 2c_2) + 5c_2 = t \;\Longrightarrow\; 3s -6c_2 +5c_2 = t \;\Longrightarrow\; c_2 = 3s - t.\] Então \[c_1 = s - 2(3s - t) = s -6s +2t = 2t -5s.\] Assim, para cada \((s,t),
[T(\boldsymbol{u})]_{\mathcal{B}} = (c_1,c_2) = \bigl(2t - 5s,\;3s - t\bigr).

Passo 4

Aplicando aos resultados de

Passo 5

  • Para \boldsymbol{u}_1: (s,t)=(1,-1)
c_2 = 3\cdot1 - (-1) = 4,\quad c_1 = 2(-1) - 5\cdot1 = -2 -5 = -7.
Então [T(\boldsymbol{u}_1)]_{\mathcal{B}} = (-7,4).
  • Para \boldsymbol{u}_2: (s,t)=(5,-4)
c_2 = 3\cdot5 - (-4) = 19,\quad c_1 = 2(-4) - 5\cdot5 = -8 -25 = -33.
Então [T(\boldsymbol{u}_2)]_{\mathcal{B}} = (-33,19).
  • Para \boldsymbol{u}_3: (s,t)=(3,1)
c_2 = 3\cdot3 - 1 = 8,\quad c_1 = 2\cdot1 - 5\cdot3 = 2 -15 = -13.
Então [T(\boldsymbol{u}_3)]_{\mathcal{B}} = (-13,8).

Resposta

As coordenadas de T(\boldsymbol{u}_j) na base \mathcal{B} são:
[T(\boldsymbol{u}_1)]_{\mathcal{B}} = (-7,4),\quad [T(\boldsymbol{u}_2)]_{\mathcal{B}} = (-33,19),\quad [T(\boldsymbol{u}_3)]_{\mathcal{B}} = (-13,8).

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