Trata-se de uma TL de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Por que? Simplesmente porque T está pronta para receber três variáveis ( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z ) e responde com duas, ( \boldsymbol{s}, \boldsymbol{t} ), depois que substituimos valores. Nesse exemplo, \mathbb{R}^{3} é o domínio da TL e \mathbb{R}^{2} é o contra-domínio da TL.
Por exemplo: se x=1, y=-3 e z=2, então
s=3(1)+2(-3)-4(2)=3-6-8=-11 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{t}=1-5(-3)+3(2)=1+15+6=22
ou seja, T leva o vetor [1,-3,2] de \mathbb{R}^{3} no vetor [-11,22] de \mathbb{R}^{2}.
Agora, considere os conjuntos \mathcal{A}=\{[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]\} e \mathcal{B}=\{[1,3],[2,5]\}.
Escreva as coordenadas de T(u) na base \mathcal{B}.
e as bases \mathcal{A} = \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\} em \mathbb{R}^3, com \boldsymbol{u}_1=(1,1,1), \boldsymbol{u}_2=(1,1,0), \boldsymbol{u}_3=(1,0,0),
e \mathcal{B} = \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} em \mathbb{R}^2, com \boldsymbol{v}_1=(1,3), \boldsymbol{v}_2=(2,5).
Precisamos encontrar, para cada \boldsymbol{u}_j, os escalares c_{1j},c_{2j} tais que
Da primeira equação c_1 = s - 2c_2\]. Substituindo na segunda:
\[3(s - 2c_2) + 5c_2 = t \;\Longrightarrow\; 3s -6c_2 +5c_2 = t \;\Longrightarrow\; c_2 = 3s - t.\]
Então
\[c_1 = s - 2(3s - t) = s -6s +2t = 2t -5s.\]
Assim, para cada \((s,t),