(2 pontos) Verifique o operador linear dado por T(x, y, z, w, t)=(2 x+y, 3 y+z, 4 z+w, 5 w+t, t) é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D. Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5},\qquad T(x,y,z,w,t)=(2x+y,\;3y+z,\;4z+w,\;5w+t,\;t).
O conteúdo aqui é diagonalização de operador: precisamos encontrar a matriz de T numa base canônica, determinar seus autovalores e autovetores, e verificar se existe base de autovetores (isto é, se a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à multiplicidade algébrica). Se sim, exibimos a relação de semelhança entre [T] e a matriz diagonal.

Passo 2

Em relação à base canônica \{e_{1},\dots,e_{5}\}, a matriz de T é triangular superior, pois
[T]= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Numérica ou simbolicamente, essa forma triangular já garante que os autovalores são as entradas da diagonal: 2,3,4,5,1.

Passo 3

Como os autovalores \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4, \lambda_{4}=5 e \lambda_{5}=1 são todos distintos, cada um terá multiplicidade algébrica igual a 1. Pelo teorema clássico, um operador com n autovalores distintos em espaço de dimensão n é necessariamente diagonalizável. Logo, T é diagonalizável.

Passo 4

Agora obtemos um autovetor próprio para cada \lambda_{i}, resolvendo (T-\lambda_{i}I)v=0:
Para \lambda_{1}=2:
as equações dão y=0, z=0, w=0, t=0, logo
v_{1}=(1,0,0,0,0).
Para \lambda_{2}=3:
temos -x+y=0, z=0, w=0, t=0, logo
v_{2}=(1,1,0,0,0).
Para \lambda_{3}=4:
vem -2x+y=0, -y+z=0, w=0, t=0, então
v_{3}=(1,2,2,0,0).
Para \lambda_{4}=5:
vem -3x+y=0, -2y+z=0, -z+w=0, t=0, então
v_{4}=(1,3,6,6,0).
Para \lambda_{5}=1:
vem x+y=0, 2y+z=0, 3z+w=0, 4w+t=0, então
v_{5}=(1,-1,2,-6,24).
Esses cinco vetores são linearmente independentes (cada um associado a autovalor distinto).

Passo 5

Definimos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores v_{1},\dots,v_{5} e a matriz diagonal
D=\operatorname{diag}(2,3,4,5,1).
Então vale a relação de semelhança
[T]=P\,D\,P^{-1},
o que mostra explicitamente que T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável, com P=[\,v_{1}\;\;v_{2}\;\;v_{3}\;\;v_{4}\;\;v_{5}\,] e
D=\begin{pmatrix} 2&0&0&0&0\\\\ 0&3&0&0&0\\\\ 0&0&4&0&0\\\\ 0&0&0&5&0\\\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix},
satisfazendo [T]=P\,D\,P^{-1}.

Exercícios relacionados