Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
a) (1 ponto) Seja A uma matriz triangular de ordem n, então \operatorname{det}(A)=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz triangular A de ordem n, vale sempre
\det(A)=a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}.
O conteúdo usado será a definição de determinante (fórmula de Leibniz) e a observação de que numa matriz triangular muitos termos dessa soma se anulam, restando apenas o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Lembremos da fórmula de Leibniz para o determinante de A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}:
\det(A) =\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\,\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)},
onde S_n é o conjunto de todas as permutações de \{1,2,\dots,n\} e \mathrm{sgn}(\sigma) é o sinal de \sigma. Se A é triangular superior (o argumentofica idêntico para triangular inferior), então
a_{ij}=0\quad\text{sempre que }i>j.
Em qualquer permutação \sigma\ne\mathrm{id} existe pelo menos um índice k tal que \sigma(k)<k. Nesse caso a_{k,\sigma(k)}=0 e, portanto, o produto \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} se anula. Assim, todos os termos na soma desaparecem, exceto aquele correspondente à permutação identidade \mathrm{id}, para a qual \mathrm{sgn}(\mathrm{id})=1 e \prod_{i=1}^n a_{i,\mathrm{id}(i)}=\prod_{i=1}^n a_{ii}. Concluímos que
\det(A) =\prod_{i=1}^n a_{ii} =a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

Exercícios relacionados