Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
a) (1 ponto) Seja
uma matriz triangular de ordem
, então
.
a) (1 ponto) Seja
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma matriz triangular
de ordem
, vale sempre
O conteúdo usado será a definição de determinante (fórmula de Leibniz) e a observação de que numa matriz triangular muitos termos dessa soma se anulam, restando apenas o produto dos elementos da diagonal.
Passo 2
Lembremos da fórmula de Leibniz para o determinante de
:
onde
é o conjunto de todas as permutações de
e
é o sinal de
. Se
é triangular superior (o argumentofica idêntico para triangular inferior), então
Em qualquer permutação
existe pelo menos um índice
tal que
. Nesse caso
e, portanto, o produto
se anula. Assim, todos os termos na soma desaparecem, exceto aquele correspondente à permutação identidade
, para a qual
e
. Concluímos que
Resposta
A afirmativa é verdadeira.