Qual das equações abaixo representa o plano perpendicular à reta r: \frac{x}{2}=z-5, y= 3 e contem o ponto A(1,3,1).
(b) 2 x-5 z+3=0
(c) 2 x+z-3=0
(d) 2 x+3 y-5 z=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que é perpendicular à reta
r:\;\frac{x}{2}=z-5,\quad y=3
e que contém o ponto A(1,3,1).
Lembrando que um plano é perpendicular a uma reta quando seu vetor normal coincide com o vetor diretor da reta, e que a equação do plano pode ser escrita como
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.

Passo 2

Para extrair o vetor diretor de r reescrevemos em forma paramétrica: seja t=\frac{x}{2}=z-5. Então
x=2t,\quad y=3,\quad z=t+5.
Dessa forma o vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(2,0,1).
Como o plano deve ser perpendicular a r, seu vetor normal \mathbf{n} é igual a \mathbf{v}, ou seja,
\mathbf{n}=(2,0,1).

Passo 3

Usamos a fórmula do plano com normal \mathbf{n}=(2,0,1) passando por A(1,3,1):
2\,(x-1)+0\,(y-3)+1\,(z-1)=0.
Isso dá
2x-2 + z-1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + z -3 = 0.

Resposta

(c) 2x+z-3=0

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