Qual o valor de m para a reta r e o plano \pi sejam paralelos?
r:\left\{\begin{array}{l}x=9 m t-3 \\\ y=1+5 t \\\ z=2 t\end{array}\right. e \pi: x+2 y+4 z+1=0
(a) m=3
(b) m=-2
(c) m=9
(d) m=12

Passo 1

O enunciado pede o valor de m\) para que a reta \[r:\begin{cases} x = 9m\,t - 3,\\\ y = 1 + 5t,\\\ z = 2t \end{cases}
seja paralela ao plano
\pi: x + 2y + 4z + 1 = 0.
O conteúdo aqui é geometria analítica em (\mathbb R^3]. Para uma reta ser paralela a um plano, basta que seu vetor diretor seja ortogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r e o vetor normal de \pi:
\vec v = (9m,\,5,\,2), \qquad \vec n = (1,\,2,\,4).

Passo 3

Aplicamos a condição de ortogonalidade entre \vec v e \vec n, que é dado pelo produto escalar igual a zero:
\vec v \cdot \vec n = 0 \quad\Longrightarrow\quad (9m,5,2)\cdot(1,2,4) = 0.
Em forma explícita:
9m\cdot1 + 5\cdot2 + 2\cdot4 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação:
9m + 10 + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 9m + 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -2.

Resposta

m = -2 (alternativa (b))

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