As equações dadas a seguir são equações de estado propostas para gases reais, onde:
representa pressão;
representa o volume específico, isto é, o quociente entre o volume e a massa;
representa uma constante e
representa a temperatura absoluta. Determinar a equação dimensional do SI das constantes
e
.
Equação de Berthelot
Equação de Berthelot
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre equações de estado para gases reais, especificamente a Equação de Berthelot. O que a gente precisa fazer é descobrir quais são as dimensões das constantes $ a $, $ b $, $ c $, $ A $, $ B $ e $ K $ no Sistema Internacional (SI). Para isso, vamos usar a análise dimensional, que ajuda a verificar se as unidades de cada termo na equação estão corretas e consistentes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a Equação de Berthelot que foi dada:
Aqui:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume específico (volume por massa),
- $ T $ é a temperatura absoluta,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ a $ e $ B $ são as constantes que queremos descobrir as dimensões.
Passo 3
Vamos começar identificando as dimensões básicas de cada variável na equação:
-
Pressão ($ P $): A pressão tem dimensões de força por área. No SI, é medida em Pascals (Pa), onde $ 1, Pa = 1, N/m^2 $.
-
Volume específico ($ V $): É o volume por unidade de massa. Assim, suas dimensões são:
-
Temperatura ($ T $): A temperatura absoluta tem sua própria dimensão:
-
Constante dos gases ($ R $): As dimensões de $ R $ podem ser encontradas rearranjando a equação ideal dos gases $ PV = RT $:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte da Equação de Berthelot para encontrar as dimensões das constantes $ a $ e $ B $.
Primeiro, observe que os dois termos dentro dos parênteses na equação devem ter as mesmas dimensões para serem somados. Então:
Vamos igualar as dimensões:
Simplificando o denominador:
Agora, resolvendo para $ [a] $:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar as dimensões de $ B $.
Observando o termo $ (V - B) $, já que $ V $ é o volume específico, $ B $ também deve ter as mesmas dimensões que $ V $ para que a subtração faça sentido.
Portanto,
Passo 6
Finalmente, como a equação envolve apenas as constantes $ a $ e $ B $, as demais constantes $ b $, $ c $, $ A $ e $ K $ não estão presentes na Equação de Berthelot fornecida. Se houverem outras equações no exercício original onde essas constantes aparecem, precisaríamos dessas equações para determinar suas dimensões.
Resposta
As dimensões das constantes no SI são: