Qual das equações diferenciais a seguir é tal que todas as suas soluções tendem a um múltiplo de
quando
.
Escolha uma opção:
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e queremos saber se todas as soluções dela tendem a um múltiplo de
quando
se aproxima de infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea porque tem um termo constante (-2) no lado direito.
Passo 3
Para resolver, vamos separar a equação em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
A equação homogênea associada é:
Passo 4
Vamos resolver a equação homogênea encontrando as raízes da equação característica. A equação característica é formada substituindo
por
:
Fatorando, temos:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o termo não homogêneo é uma constante (-2), tentamos uma solução particular constante:
.
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Isso não faz sentido, então precisamos tentar outro tipo de solução. Vamos tentar uma solução linear:
.
Derivando:
Substituindo na equação original:
Podemos escolher
para simplificar, já que qualquer constante pode ser absorvida em
.
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando
:
- O termo
tende a zero porque diminui exponencialmente conforme aumenta. - O termo
tende a infinito.
Portanto, à medida que
cresce, a solução
é dominada pelo termo linear
, que não é um múltiplo de
.
Resposta
Nenhuma das soluções tende a um múltiplo de
quando
.