Qual das equações diferenciais a seguir é tal que todas as suas soluções tendem a um múltiplo de e^-t quando t infty.
Escolha uma opção:
y^prime prime+3 y^prime-2=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e queremos saber se todas as soluções dela tendem a um múltiplo de e^-t quando t se aproxima de infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
y'' + 3y' - 2 = 0
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea porque tem um termo constante (-2) no lado direito.

Passo 3

Para resolver, vamos separar a equação em duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
A equação homogênea associada é:
y'' + 3y' = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação homogênea encontrando as raízes da equação característica. A equação característica é formada substituindo y por e^rt :
r^2 + 3r = 0
Fatorando, temos:
r(r + 3) = 0
Portanto, as raízes são r = 0 e r = -3 .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^-3t = C1 + C2 e^-3t
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa. Como o termo não homogêneo é uma constante (-2), tentamos uma solução particular constante: yp = A .
Derivando yp :
yp' = 0
yp'' = 0
Substituindo na equação original:
0 + 3 cdot 0 - 2 = 0 Rightarrow -2 = 0
Isso não faz sentido, então precisamos tentar outro tipo de solução. Vamos tentar uma solução linear: yp(t) = A t + B .
Derivando:
yp' = A
yp'' = 0
Substituindo na equação original:
0 + 3A - 2 = 0 Rightarrow 3A = 2 Rightarrow A = 23
Podemos escolher B = 0 para simplificar, já que qualquer constante pode ser absorvida em C1 .
Portanto, a solução particular é:
yp(t) = 23 t

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^-3t + 23 t

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando t infty :
  • O termo C2 e^-3t tende a zero porque e^-3t diminui exponencialmente conforme t aumenta.
  • O termo 23 t tende a infinito.
Portanto, à medida que t cresce, a solução y(t) é dominada pelo termo linear 23 t , que não é um múltiplo de e^-t .

Resposta

Nenhuma das soluções tende a um múltiplo de e^-t quando t infty .

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