Qual das equações diferenciais a seguir é tal que todas as suas soluções tendem a um múltiplo de e^-t quando t infty.
Escolha uma opção:
y^prime prime+3 y^prime+2=0

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial de coeficientes constantes cuja solução geral tenda, quando ttoinfty, a um múltiplo de e^-t. Isso é típico de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, em que o comportamento assintótico é dado pela raiz de maior parte real da equação característica.

Passo 2

Suponha a equação
y'' + 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo em r obtemos as raízes
r = -1e r = -2

Passo 3

Com essas raízes, a solução geral é
y(t) = C1e^-t + C2e^-2t

Passo 4

Quando ttoinfty, o termo e^-2t decai muito mais rápido que e^-t. Logo,
y(t)sim C1e^-t,
ou seja, tende a um múltiplo de e^-t.

Resposta

A equação diferencial buscada é
boxedy'' + 3y' + 2y = 0

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