Para as equações de Euler da questão anterior mostre que:
(a) Se a equação indicial possui duas raízes distintas, então e são soluções fundamentais da equação e por tanto a solução geral é
(b) Se a equação indicial possui duas raízes complexas conjugadas, isto é, , então se ,
e a solução geral é dada por:
(c) Se a equação indicial possui duas raízes iguais, então e são soluções fundamentais da equação e, portanto, a solução geral é

Passo 1

Resumindo, temos a equação de Euler–Cauchy
x^2y''+b,x,y'+c,y=0, x>0,
e adotamos o ansatz y=x^r. Substituindo na equação obtemos a equação indicial
r(r-1)+b,r+c=0
Chamemos suas raízes de r1 e r2. Vamos mostrar os três casos pedidos.

Passo 2

Caso (a): r1neq r2 reais.
Assumindo y=x^r, calculamos
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2,
e ao substituir em x^2y''+b,x,y'+c,y=0 vem
x^rl[r(r-1)+b,r+cr]=0,
logo as raízes da indicial são os expoentes válidos. Para r=r1 e r=r2 temos duas soluções
,y1=x^r1, ,y2=x^r2. O Wronskiano é
W(x)=detx^r1&x^r2 r1x^r1-1&r2x^r2-1 =(r2-r1),x^r1+r2-1neq0(x>0),
portanto y1,y2 são independentes e formam uma base.

Passo 3

Caso (b): r=alphapm ibeta conjugados.
As soluções complexas são
x^alphapm ibeta =x^alpha e^pm ibetaln x =x^alphal(cos(betaln x)pm isin(betaln x)r)
Tomando as partes real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes
,y1=x^alphacos(betaln x) e
,y2=x^alphasin(betaln x).

Passo 4

Caso (c): raiz dupla r1=r2=r.
Dividindo a equação por x^2 fica
y''+bxy'+cx^2y=0,
isto é, p(x)=b/x. Uma solução é y1=x^r. Pela redução de ordem,
y2=y1integrale^-integral p(x),dxy1^2,dx =x^rintegralx^-bx^2r,dx =x^rintegral x^-,b-2r,dx
Na raiz dupla satisfaz-se 2r+b=1, de modo que o integrando é x^-1 e
y2=x^rln x

Resposta

(a) y(x)=c1x^r1+c2x^r2, x>0
(b) y(x)=c1x^alphacos(betaln x)+c2x^alphasin(betaln x), x>0
(c) y(x)=c1x^1-b2+c2x^1-b2ln x, x>0

Exercícios relacionados