Para as equações de Euler da questão anterior mostre que:
(a) Se a equação indicial possui duas raízes distintas, então
e
são soluções fundamentais da equação e por tanto a solução geral é
(b) Se a equação indicial possui duas raízes complexas conjugadas, isto é,
, então se
,
e a solução geral é dada por:
(c) Se a equação indicial possui duas raízes iguais, então
e
são soluções fundamentais da equação e, portanto, a solução geral é
(a) Se a equação indicial possui duas raízes distintas, então
Passo 1
Resumindo, temos a equação de Euler–Cauchy
e adotamos o ansatz
. Substituindo na equação obtemos a equação indicial
Chamemos suas raízes de
e
. Vamos mostrar os três casos pedidos.
Passo 2
Caso (a):
reais.
Assumindo , calculamos
Assumindo
e ao substituir em
vem
logo as raízes da indicial são os expoentes válidos. Para
e
temos duas soluções
,
. O Wronskiano é
portanto
são independentes e formam uma base.
Passo 3
Caso (b):
conjugados.
As soluções complexas são
As soluções complexas são
Tomando as partes real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes
e
.
Passo 4
Caso (c): raiz dupla
.
Dividindo a equação por fica
Dividindo a equação por
isto é,
. Uma solução é
. Pela redução de ordem,
Na raiz dupla satisfaz-se
, de modo que o integrando é
e
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)