Parametrize a curva obtida pela interseção do cilindro com o plano em que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção do cilindro com o plano , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esses dois conjuntos representam:
Cilindro : Esse é um cilindro circular reto, centrado no eixo , com raio . Ele se estende infinitamente nas direções positivas e negativas de .
Plano : Esse é um plano vertical que corta o eixo no ponto .
Quando a gente pega a interseção desses dois, vai formar uma curva. Nosso objetivo é descrever essa curva de uma forma que possamos calcular qualquer ponto nela usando um parâmetro, geralmente denotado por ou .
Passo 3
Vamos pensar no cilindro . Isso descreve um círculo no plano para cada valor de . Então, podemos parametrizar esse círculo usando funções trigonométricas:
Aqui, varia de a para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Agora, como estamos no plano , o valor de é constante e igual a para todos os pontos da curva. Então, nossa coordenada não depende do :
Passo 5
Juntando tudo, a parametrização completa da curva é dada por:
onde theta varia de 0 a 2pi .
Resposta
A parametrização da curva de interseção é:
x = a y = a, cos(theta) z = a, sin(theta) , 0 <= theta < 2pi