Parametrize a curva obtida pela interseção do cilindro y^2+z^2=a^2 com o plano x=a em que a>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção do cilindro y^2 + z^2 = a^2 com o plano x = a , onde a > 0 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esses dois conjuntos representam:
  • Cilindro y^2 + z^2 = a^2 : Esse é um cilindro circular reto, centrado no eixo x , com raio a . Ele se estende infinitamente nas direções positivas e negativas de x .
  • Plano x = a : Esse é um plano vertical que corta o eixo x no ponto x = a .
Quando a gente pega a interseção desses dois, vai formar uma curva. Nosso objetivo é descrever essa curva de uma forma que possamos calcular qualquer ponto nela usando um parâmetro, geralmente denotado por theta ou t .

Passo 3

Vamos pensar no cilindro y^2 + z^2 = a^2 . Isso descreve um círculo no plano yz para cada valor de x . Então, podemos parametrizar esse círculo usando funções trigonométricas:
y = a cos(theta)
z = a sin(theta)
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Agora, como estamos no plano x = a , o valor de x é constante e igual a a para todos os pontos da curva. Então, nossa coordenada x não depende do theta :
x = a

Passo 5

Juntando tudo, a parametrização completa da curva é dada por:
x = a y = a cos(theta) z = a sin(theta)
onde theta varia de 0 a 2pi .

Resposta

A parametrização da curva de interseção é:
x = a y = a, cos(theta) z = a, sin(theta) , 0 <= theta < 2pi

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