( 1,5 pontos) Para a função
a) Determine os zeros da função e fatore a expressão para a função.
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
c) Faça um esboço do gráfico no intervalo
.
d) (Opcional, 0,5 ponto) A função apresenta pontos de máximo ou de mínimo local no intervalo do item anterior?
a) Determine os zeros da função e fatore a expressão para a função.
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
c) Faça um esboço do gráfico no intervalo
d) (Opcional, 0,5 ponto) A função apresenta pontos de máximo ou de mínimo local no intervalo do item anterior?
Passo 1
O enunciado quer: a) achar os zeros de
e fatorar; b) estudar onde
é positiva ou negativa; c) esboçar o gráfico em
; d) opcionalmente, ver os extremos locais. A matéria envolve polinômios, Teorema das Raízes Racionais, fatoração, cálculo de derivada e análise de sinais.
Passo 2
Para achar os zeros, tentamos raízes racionais (divisores de
:
). Testando
:
, então
é raiz. Dividindo o polinômio por
:
Passo 3
Passo 4
Logo,
. O quadrático tem discriminante
, então não gera raízes reais.
Passo 5
Para estudar o sinal, note que é um polinômio ímpar com coeficiente líder positivo, então vai de
(quando
) a
(quando
), cruzando o eixo só em
. Testes: em
,
; em
,
. Logo,
para
e
para
.
Passo 6
Agora vamos achar os pontos críticos calculando a derivada:
Passo 7
Passo 8
Resolvendo
temos
ou
, logo
e
. Avaliando:
e
.
Passo 9
Com isso, no intervalo
temos pontos-chave:
,
,
e
. O gráfico começa em
, sobe até
, desce até
e depois sobe cruzando em
até
.
Passo 10
Para classificar os extremos, analisamos o sinal de
: antes de
,
; entre
e
,
; depois de
,
. Assim, há um máximo local em
e um mínimo local em
.
Resposta
a) O único zero real é
e a fatoração é
. b)
para
e
para
. c) No intervalo
, o gráfico passa por
, tem ponto de máximo em
, ponto de mínimo em
e cruza o eixo
em
. d) Sim, apresenta um máximo local em
e um mínimo local em
.