( 1,5 pontos) Para a função f(x)=x^3-x^2-4
a) Determine os zeros da função e fatore a expressão para a função.
b) Determine os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa.
c) Faça um esboço do gráfico no intervalo -2<x<3.
d) (Opcional, 0,5 ponto) A função apresenta pontos de máximo ou de mínimo local no intervalo do item anterior?

Passo 1

O enunciado quer: a) achar os zeros de f(x)=x^3-x^2-4 e fatorar; b) estudar onde f(x) é positiva ou negativa; c) esboçar o gráfico em -2<x<3; d) opcionalmente, ver os extremos locais. A matéria envolve polinômios, Teorema das Raízes Racionais, fatoração, cálculo de derivada e análise de sinais.

Passo 2

Para achar os zeros, tentamos raízes racionais (divisores de -4: pm1,pm2,pm4). Testando x=2: f(2)=2^3-2^2-4=8-4-4=0, então x=2 é raiz. Dividindo o polinômio por (x-2):

Passo 3

x^3-x^2-4x-2=x^2+x+2

Passo 4

Logo, f(x)=(x-2)(x^2+x+2). O quadrático tem discriminante De<a=1-4cdot1cdot2=-7<0, então não gera raízes reais.

Passo 5

Para estudar o sinal, note que é um polinômio ímpar com coeficiente líder positivo, então vai de -infty (quando xto-infty) a +infty (quando xto+infty), cruzando o eixo só em x=2. Testes: em x=0, f(0)=-4<0; em x=3, f(3)=27-9-4=14>0. Logo, f(x)<0 para x<2 e f(x)>0 para x>2.

Passo 6

Agora vamos achar os pontos críticos calculando a derivada:

Passo 7

f'(x)=3x^2-2x

Passo 8

Resolvendo f'(x)=0 temos 3x^2-2x=0 ou x(3x-2)=0, logo x=0 e x=23. Avaliando: f(0)=-4 e f(tfrac23)=tfrac827-tfrac49-4=-tfrac11227.

Passo 9

Com isso, no intervalo -2<x<3 temos pontos-chave: (-2,-16), (0,-4), (tfrac23,-tfrac11227) e (2,0). O gráfico começa em (-2,-16), sobe até (0,-4), desce até (tfrac23,-tfrac11227) e depois sobe cruzando em (2,0) até (3,14).

Passo 10

Para classificar os extremos, analisamos o sinal de f'(x): antes de 0, f'>0; entre 0 e tfrac23, f'<0; depois de tfrac23, f'>0. Assim, há um máximo local em (0,-4) e um mínimo local em (tfrac23,-tfrac11227).

Resposta

a) O único zero real é x=2 e a fatoração é f(x)=(x-2)(x^2+x+2). b) f(x)<0 para x<2 e f(x)>0 para x>2. c) No intervalo -2<x<3, o gráfico passa por (-2,-16), tem ponto de máximo em (0,-4), ponto de mínimo em (tfrac23,-tfrac11227) e cruza o eixo x em (2,0). d) Sim, apresenta um máximo local em (0,-4) e um mínimo local em (tfrac23,-tfrac11227).

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