a) Sabendo que , determine o valor de para o qual se pode afirmar que seja contínua em ( 0,0 ).
b) Considere o valor de obtido no item (a). Verifique se a derivada parcial é contínua em .
Passo 1
O enunciado define a função
Pede (a) o valor de beta que torna f contínua em (0,0) e (b) com esse beta, verificar se dfracpartial fpartial x é contínua em (0,0). Vamos usar (i) definição de limite em R^2 para continuidade e (ii) regra do quociente e definição de derivada parcial via limite.]
Passo 2
Para f ser contínua em (0,0), precisamos
lim(x,y)to(0,0)x,y^2x^2+y^2
igualar a f(0,0)=beta+5. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta: