Seja a função f(x, y)= x y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) beta+5, & se (x, y)=(0,0)
a) Sabendo que beta in R, determine o valor de beta para o qual se pode afirmar que f seja contínua em ( 0,0 ).
b) Considere o valor de beta obtido no item (a). Verifique se a derivada parcial partial fpartial x(x, y) é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0),[6pt] beta+5, & (x,y)=(0,0)
Pede (a) o valor de beta que torna f contínua em (0,0) e (b) com esse beta, verificar se dfracpartial fpartial x é contínua em (0,0). Vamos usar (i) definição de limite em R^2 para continuidade e (ii) regra do quociente e definição de derivada parcial via limite.]

Passo 2

Para f ser contínua em (0,0), precisamos
lim(x,y)to(0,0)x,y^2x^2+y^2
igualar a f(0,0)=beta+5. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta:
x,y^2x^2+y^2 =rcostheta;(rsintheta)^2r^2 =rcostheta,sin^2theta;xrightarrow[rto0];0
Logo o limite é 0.

Passo 3

Igualando o valor de f(0,0) ao limite obtido, tem-se
beta+5=0 Longrightarrow beta=-5

Passo 4

Agora com beta=-5, f(0,0)=0. Para (x,y)neq(0,0), aplicamos regra do quociente a
g(x,y)=x,y^2, h(x,y)=x^2+y^2
Temos gx=y^2 e hx=2x, então
partial fpartial x(x,y) =y^2,(x^2+y^2)-x,y^2cdot2x(x^2+y^2)^2 =y^4 - x^2y^2(x^2+y^2)^2 =y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Por definição de derivada parcial, em (0,0) temos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 6

Para verificar continuidade de partial f/partial x em (0,0), checamos
lim(x,y)to(0,0) y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2
Em polares isso vira
r^4sin^2theta(sin^2theta-cos^2theta)r^4 =sin^2theta,(sin^2theta-cos^2theta),
que depende de theta. Como não é único, esse limite não existe e, portanto, partial f/partial x não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) beta=-5.
(b) A derivada parcial partial fpartial x não é contínua em (0,0).

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