As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0, \quad \text { em que } b, c \in \mathbb{R}
Existem valores constantes de r tais que y(x)=x^{r} é uma solução de (2.23). Além disso, y(x)=x^{r} é soluçāo da equaçāo (2.23) se, e somente se,
r^{2}+(b-1) r+c=0
que é chamada equação indicial de (2.23). Se a equação indicial r^{2}+(1-b) r+c=0 tem somente uma raiz real, r=\frac{1-b}{2}, determine uma segunda solução linearmente independente da forma
y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x)=v(x) x^{\frac{1-b}{2}}, \quad \text { para } x>0 .

Passo 1

O enunciado trata da equação de Euler
x^{2}y''+b\,x\,y'+c\,y=0,
cuja equação indicial é
r^{2}+(b-1)r+c=0.
No caso de raiz dupla temos
r=\frac{1-b}{2},
e já conhecemos uma solução básica
y_{1}(x)=x^{r}=x^{\frac{1-b}{2}}.
O objetivo é achar uma segunda solução linearmente independente da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=v(x)\,x^{\frac{1-b}{2}}.

Passo 2

Assumimos
y_{2}(x)=v(x)\,x^{r}, \quad r=\frac{1-b}{2},
e calculamos as derivadas:
y_{2}'=v'\,x^{r}+r\,v\,x^{r-1},
y_{2}''=v''\,x^{r}+2r\,v'\,x^{r-1}+r(r-1)\,v\,x^{r-2}.

Passo 3

Substituindo em
x^{2}y_{2}''+b\,x\,y_{2}'+c\,y_{2}=0
obtemos
v''\,x^{r+2}+(2r+b)\,v'\,x^{r+1}+\bigl[r(r-1)+b\,r+c\bigr]\,v\,x^{r}=0.
Como r satisfaz a indicial,
r(r-1)+b\,r+c=0,
sobra
v''\,x^{r+2}+(2r+b)\,v'\,x^{r+1}=0 \quad\Longrightarrow\quad v''\,x+(2r+b)\,v'=0.

Passo 4

Defina w=v'. A equação vira
w'+(2r+b)\,\frac{w}{x}=0,
que é linear de primeira ordem. O fator integrante é x^{2r+b}, logo
\frac{d}{dx}\bigl(w\,x^{2r+b}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad w=C\,x^{-(2r+b)}.
Mas
2r+b=2\cdot\frac{1-b}{2}+b=1,
então
w=v'=C\,x^{-1} \quad\Longrightarrow\quad v(x)=C\ln x + D.

Passo 5

Para obter uma segunda solução basta escolher C=1 e D=0, isto é
v(x)=\ln x,
o que dá
y_{2}(x)=x^{r}\,\ln x = x^{\frac{1-b}{2}}\,\ln x.

Resposta

y_{2}(x)=x^{\frac{1-b}{2}}\,\ln x.

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