As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
Existem valores constantes de
tais que
é uma solução de (2.23). Além disso,
é soluçāo da equaçāo (2.23) se, e somente se,
que é chamada equação indicial de (2.23). Se a equação indicial
tem somente uma raiz real,
, determine uma segunda solução linearmente independente da forma
Passo 1
O enunciado trata da equação de Euler
cuja equação indicial é
No caso de raiz dupla temos
e já conhecemos uma solução básica
O objetivo é achar uma segunda solução linearmente independente da forma
Passo 2
Assumimos
e calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Como
satisfaz a indicial,
sobra
Passo 4
Defina
. A equação vira
que é linear de primeira ordem. O fator integrante é
, logo
Mas
então
Passo 5
Para obter uma segunda solução basta escolher
e
, isto é
o que dá