\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão ( \mathbf{2 , 0} pontos): Resolva as Equações Diferenciais ordinárias de 2^{\circ} ordem
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO de 2º ordem
y^{\prime\prime}-2\,y^{\prime}+y=0
com as condições iniciais \,y(0)=1 e \,y^{\prime}(0)=0. É uma equação linear homogênea de coeficientes constantes; vamos resolver usando o polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
r^2 - 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=1.

Passo 3

Para raiz dupla r=1, a solução geral é
y(x) = C_1 e^x + C_2\,x\,e^x.

Passo 4

Derivando,
y'(x) = C_1 e^x + C_2 e^x + C_2 x e^x = e^x\bigl(C_1 + C_2 + C_2 x\bigr),
e aplicando as condições iniciais: em x=0 temos y(0)=C_1=1 e y'(0)=C_1 + C_2=0, logo C_2=-1.

Resposta

\displaystyle y(x)=e^x\,(1 - x)

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