Questão 2 (9 pontos-1,5). Calcule a integral indefinida em cada item a seguir.
\int\left[\frac{1}{x}+2 \operatorname{sen}(x)-x^{3}+e^{2}+2025\right] d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl[\frac{1}{x} + 2\,\operatorname{sen}(x) - x^{3} + e^{2} + 2025\Bigr]dx.
O conteúdo aqui é aplicação da linearidade da integral e das regras básicas:
\displaystyle\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C
\displaystyle\int\sin(x)\,dx = -\cos(x) + C
– Regra de potência: \displaystyle\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
– Integração de constantes.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar termos:
\int\frac{1}{x}dx + 2\int \operatorname{sen}(x)\,dx - \int x^{3}dx + e^{2}\int dx + 2025\int dx.

Passo 3

Calculamos \displaystyle\int\frac{1}{x}dx. Pela conhecida forma,
\int\frac{1}{x}dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Calculamos \displaystyle 2\int \operatorname{sen}(x)\,dx. Como \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x), temos
2\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -2\cos(x).

Passo 5

Calculamos \displaystyle -\int x^{3}dx. Pela regra de potência,
\int x^{3}dx = \frac{x^{4}}{4},
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-\int x^{3}dx = -\frac{x^{4}}{4}.

Passo 6

Integramos as constantes e^{2} e 2025:
e^{2}\int dx = e^{2}x, \qquad 2025\int dx = 2025\,x.

Passo 7

Somamos todos os resultados e adicionamos a constante de integração C:
\ln\lvert x\rvert -2\cos(x) -\frac{x^{4}}{4} +e^{2}x +2025\,x + C.

Resposta

\boxed{\ln\lvert x\rvert -2\cos(x) - \frac{x^{4}}{4} + (e^{2} + 2025)\,x + C.}

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