Seja
dada abaixo. Para cada item calcule o limite
, se existir, ou mostre que o limite não existe. Mostra ainda se a fúnção é contínua ou não no ponto ( 0,0 ). Justifique adequadamente sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o limite
e, em seguida, verificar se
é contínua em
. Isso envolve estudar o comportamento de
ao longo de diferentes trajetórias que se aproximem da origem.
Passo 2
Uma estratégia clássica é aproximar a origem por retas do tipo
, com
constante. Se o limite depender de
, então não existe limite geral.
Passo 3
Substituindo
em
temos
Agora tomamos
: como
,
Passo 4
O valor
varia com
. Por exemplo, para
dá
e para
dá
. Logo
não existe, pois caminhos diferentes produzem limites diferentes.
Passo 5
Como o limite de
quando
não existe, a função não pode ser contínua em
(mesmo que se definisse
, não haveria coincidência entre valor e limite).
Resposta
O limite
não existe, e portanto
não é contínua em
.