Seja f(x, y) dada abaixo. Para cada item calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), se existir, ou mostre que o limite não existe. Mostra ainda se a fúnção é contínua ou não no ponto ( 0,0 ). Justifique adequadamente sua resposta.
f(x, y)=\frac{x y \cos (y)}{3 x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y\cos(y)}{3x^{2}+y^{2}}
e, em seguida, verificar se f é contínua em (0,0). Isso envolve estudar o comportamento de f ao longo de diferentes trajetórias que se aproximem da origem.

Passo 2

Uma estratégia clássica é aproximar a origem por retas do tipo y = m x, com m constante. Se o limite depender de m, então não existe limite geral.

Passo 3

Substituindo y = m x em f temos
f(x,m x) = \frac{x\,(m x)\cos(m x)}{3x^{2} + (m x)^{2}} = \frac{m\,x^{2}\cos(m x)}{x^{2}(3 + m^{2})} = \frac{m\,\cos(m x)}{3 + m^{2}}.
Agora tomamos x\to0: como \cos(m x)\to1,
\lim_{x\to0} f(x,m x) = \frac{m}{3 + m^{2}}.

Passo 4

O valor \tfrac{m}{3+m^{2}} varia com m. Por exemplo, para m=0 0 e para m=1 \tfrac{1}{4}. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe, pois caminhos diferentes produzem limites diferentes.

Passo 5

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe, a função não pode ser contínua em (0,0) (mesmo que se definisse f(0,0), não haveria coincidência entre valor e limite).

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, e portanto f não é contínua em (0,0).

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