Resolva as equações de Ricatti.
y^{\prime}=y^{2} \cot x \csc x-y+\sin x, sabendo que y=\sin x é solução particular.

Passo 1

A equação dada é uma equação de Riccati da forma
y'=A(x)\,y^2 + B(x)\,y + C(x),
onde
A(x)=\cot x\;\csc x,\quad B(x)=-1,\quad C(x)=\sin x,
e sabemos que y_1(x)=\sin x é uma solução particular. Para resolver usamos a troca
y(x)=y_1(x)+\frac1{u(x)},
que transforma a Riccati numa equação linear de primeira ordem em u(x).

Passo 2

Com a troca y=y_1+1/u mostra-se (por substituição direta) que u satisfaz
u' +\bigl(2A(x)\,y_1(x)+B(x)\bigr)\,u + A(x)=0.

Passo 3

Substituindo
A(x)=\cot x\;\csc x,\quad B(x)=-1,\quad y_1(x)=\sin x
vemos
2A\,y_1 + B = 2\cot x -1,
portanto a equação para u é
u' + (2\cot x -1)\,u + \cot x\;\csc x = 0.

Passo 4

Esta é uma equação linear padrão. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\bigl(\!\int(2\cot x -1)\,dx\bigr) =\sin^2 x\,e^{-x}.
Multiplicando a ODE por \mu obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(u\,\mu\bigr) =-\mu\,\cot x\,\csc x =-e^{-x}\cos x.
Integramos:
u(x)\,\mu(x) =-\int e^{-x}\cos x\,dx + C =\frac{e^{-x}( \cos x -\sin x)}{2}+C.

Passo 5

Desfazendo o fator integrante,
u(x) =\frac{\dfrac{e^{-x}(\cos x-\sin x)}{2}+C}{\sin^2 x\,e^{-x}} =\frac{\cos x-\sin x}{2\sin^2 x}+\frac{C\,e^{x}}{\sin^2 x}.

Passo 6

Finalmente
y(x)=\sin x+\frac1{u(x)} =\sin x+\frac{2\sin^2 x}{\cos x-\sin x+2C\,e^{x}}\,,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{y(x)=\sin x+\frac{2\sin^2 x}{\cos x-\sin x+K\,e^{x}},}
com K constante arbitrária.

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