Integrais envolvendo produtos de senos e cossenos
Para calcular as integrais
(a) \int \sin (m x) \cos (n x) d x,
(b) \int \sin (m x) \sin (n x) d x,
(c) \int \cos (m x) \cos (n x) d x,
usa-se a identidade correspondente:
\begin{aligned} & \text { (a) } \sin A \cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)], \\\ & \text { (b) } \sin A \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)], \\\ & \text { \text{(c)} } \cos A \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)] . \end{aligned}
A partir das relações acima, calcule as integrais a seguir:
\int \cos (6 x) \cos (7 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \cos(6x)\cos(7x)\,dx
usando a identidade de produto de cossenos. O conteúdo envolvido é transformar o produto em soma de cossenos para integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos A \cos B = \tfrac12\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr]
a A=6x e B=7x. Assim,
\cos(6x)\cos(7x) = \tfrac12\bigl[\cos(6x-7x)+\cos(6x+7x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\cos(-x)+\cos(13x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\cos(x)+\cos(13x)\bigr].

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int \cos(6x)\cos(7x)\,dx = \tfrac12\int\bigl[\cos(x)+\cos(13x)\bigr]\,dx = \tfrac12\Bigl(\sin(x)+\tfrac{1}{13}\sin(13x)\Bigr)+C.

Resposta

\int \cos(6x)\cos(7x)\,dx = \tfrac12\sin(x) + \tfrac{1}{26}\sin(13x) + C.

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