Um modelo para o estudo da velocidade de queda v(t) de um pára-quedista é supor que a força de resistência do ar seja dada por R=b v(t)^{2}, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade. Como a força resultante é P+R, onde P=-m g é a força peso, pela Segunda Lei de Newton, temos que
m a(t)=-m g+b(v(t))^{2}
Suponha que a aceleração da gravidade é g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a massa conjunta do páraquedista e do pára-quedas é m=70 \mathrm{~kg} e que b=700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Da Segunda Lei de Newton segue que
\frac{v^{\prime}(t)}{v(t)^{2}-1}=10,
para todo tempo t \geq 0.
(a) Use a regra da substituição para transformar a integral
\int \frac{v^{\prime}(t)}{v(t)^{2}-1} d t
em uma outra que não envolva a função v(t) nem a derivada v^{\prime}(t). Calcule a integral obtida usando o método das frações parciais.
(b) Sabendo que v(t)^{2}-1>0, use a equação acima para determinar uma expressão de v(t) em termos da função exponencial e de uma constante arbitrária.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1}=10,
que descreve o movimento do pára-quedista. Precisamos calcular a integral
\int \frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1}\,dt
usando substituição e frações parciais (item a) e, a seguir, resolver para v(t) em função de t (item b).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = v(t), \qquad du = v'(t)\,dt.
Com isso
\int \frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1}\,dt = \int \frac{du}{u^{2}-1}.

Passo 3

Decompomos em frações parciais: existe A,B tais que
\frac{1}{u^{2}-1} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}.
Multiplicando por u^{2}-1=(u-1)(u+1) obtém-se
1 = A(u+1) + B(u-1).
Tomando u=1 vem 1=2A logo A=\tfrac12.
Tomando u=-1 vem 1=-2B logo B=-\tfrac12.

Passo 4

Integramos usando os valores de A e B:
\int \frac{du}{u^{2}-1} = \frac12\int \frac{du}{u-1} -\frac12\int \frac{du}{u+1} = \frac12\ln\lvert u-1\rvert -\frac12\ln\lvert u+1\rvert + C = \frac12\ln\Bigl\lvert\frac{u-1}{u+1}\Bigr\rvert + C.

Passo 5

Voltando a v e igualando a 10t+C:
\frac12\ln\Bigl\lvert\frac{v-1}{v+1}\Bigr\rvert = 10t + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl\lvert\frac{v-1}{v+1}\Bigr\rvert = 20t + K,
onde K=2C. Exponenciando:
\frac{v-1}{v+1} = A\,e^{20t},
com A=e^{K} constante arbitrária.

Passo 6

Resolvendo para v:
v-1 = A\,e^{20t}\,(v+1) \;\Longrightarrow\; v\bigl(1 - A\,e^{20t}\bigr) = 1 + A\,e^{20t} \;\Longrightarrow\; v(t) = \frac{1 + A\,e^{20t}}{1 - A\,e^{20t}}.

Resposta

v(t) = \frac{1 + C\,e^{20t}}{1 - C\,e^{20t}},
onde C é constante arbitrária (ajustada conforme a condição inicial) e garante v(t)^{2}>1.

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