Um modelo para o estudo da velocidade de queda v(t) de um pára-quedista é supor que a força de resistência do ar seja dada por R=b v(t)^{2}, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade. Como a força resultante é P+R, onde P=-m g é a força peso, pela Segunda Lei de Newton, temos que
m a(t)=-m g+b(v(t))^{2}
Suponha que a aceleração da gravidade é g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a massa conjunta do páraquedista e do pára-quedas é m=70 \mathrm{~kg} e que b=700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Da Segunda Lei de Newton segue que
\frac{v^{\prime}(t)}{v(t)^{2}-1}=10,
para todo tempo t \geq 0.
(a) Use a regra da substituição para transformar a integral
\int \frac{v^{\prime}(t)}{v(t)^{2}-1} d t
em uma outra que não envolva a função v(t) nem a derivada v^{\prime}(t). Calcule a integral obtida usando o método das frações parciais.
(b) Sabendo que v(t)^{2}-1>0, use a equação acima para determinar uma expressão de v(t) em termos da função exponencial e de uma constante arbitrária.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1}=10,
que descreve o movimento do pára-quedista. Precisamos calcular a integral
\int \frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1}\,dt
usando substituição e frações parciais (item a) e, a seguir, resolver para v(t) em função de t (item b).