As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos xOy, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
z^2-4 x^2-4 y^2=4

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z^2 - 4x^2 - 4y^2 = 4
e pede: (i) identificação do tipo de superfície; (ii) traços com os planos coordenados; (iii) traços em planos paralelos aos coordenados; (iv) esboço 3D. Vamos estudar cada item.

Passo 2

Para identificar, escrevemos em forma canônica. Dividindo por 4:
z^24 - x^2 - y^2 = 1
Essa é a equação padrão de um hiperbolóide de duas folhas (coeficiente de z^2 positivo e de x^2,y^2 negativos).

Passo 3

Traços com os planos coordenados:
  • Plano xy ( z=0): -4x^2-4y^2=4Longrightarrow x^2+y^2=-1, não há pontos reais (nenhuma interseção).
  • Plano xz ( y=0): z^2 - 4x^2 = 4 Longrightarrow z^24 - x^2 = 1, que é uma hipérbole no plano xz, com eixos ao longo de z.
  • Plano yz ( x=0): z^2 - 4y^2 = 4 Longrightarrow z^24 - y^2 = 1, outra hipérbole análoga no plano yz.

Passo 4

Traços em planos paralelos aos coordenados:
  • Planos horizontais z=k: z^2-4(x^2+y^2)=4 ;Longrightarrow; x^2+y^2=k^2-44 Para |k|>=2 obtém-se círculos de raio raiztfrack^2-44; para |k|<2 não há seção real.
  • Planos verticais x=k: z^2-4k^2-4y^2=4 ;Longrightarrow; z^24-y^2=1+k^2, que são hipérboles no plano paralelo a yz.
  • Planos verticais y=k: similarmente z^24-x^2=1+k^2, hipérboles no plano paralelo a xz.

Passo 5

Esboço em 3D:
É um hiperbolóide de duas folhas simétrico em relação ao plano xy. Não existem pontos entre z=-2 e z=2. Para z>=2 temos uma “folha” aberta para cima com cortes circulares crescentes, e para z<=-2 uma “folha” idêntica para baixo.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, com equação canônica
z^24-x^2-y^2=1,
sem interseção com z=0; seus traços em z=k ( |k|>=2) são círculos de raio raiz(k^2-4)/4, e em x=k ou y=k aparecem hipérboles. No espaço, forma duas folhas separadas acima de z=2 e abaixo de z=-2.

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