As equações nos exercícios 1- 11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados,
(iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede: (i) identificação do tipo de superfície; (ii) traços com os planos coordenados; (iii) traços em planos paralelos aos coordenados; (iv) esboço 3D. Vamos estudar cada item.
Passo 2
Para identificar, escrevemos em forma canônica. Dividindo por 4:
Essa é a equação padrão de um hiperbolóide de duas folhas (coeficiente de
positivo e de
negativos).
Passo 3
Traços com os planos coordenados:
- Plano
( ): não há pontos reais (nenhuma interseção). - Plano
( ): que é uma hipérbole no plano , com eixos ao longo de . - Plano
( ): outra hipérbole análoga no plano .
Passo 4
Traços em planos paralelos aos coordenados:
- Planos horizontais
: Para obtém-se círculos de raio ; para não há seção real. - Planos verticais
: que são hipérboles no plano paralelo a . - Planos verticais
: similarmente hipérboles no plano paralelo a .
Passo 5
Esboço em 3D:
É um hiperbolóide de duas folhas simétrico em relação ao plano . Não existem pontos entre
e
. Para
temos uma “folha” aberta para cima com cortes circulares crescentes, e para
uma “folha” idêntica para baixo.
É um hiperbolóide de duas folhas simétrico em relação ao plano
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, com equação canônica
sem interseção com
; seus traços em
(
) são círculos de raio
, e em
ou
aparecem hipérboles. No espaço, forma duas folhas separadas acima de
e abaixo de
.