Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas
, com
ortonormal. Sejam
e
dois números reais, com
, e seja
a cônica cuja equação é dada por:
onde
Caso seja possível, elimine os termos de
1^circ grau por meio de uma translação.
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas
Passo 1
O enunciado dá uma cônica genérica
com
e pede para eliminar os termos de primeiro grau por meio de uma translação. O conteúdo é encontrar o centro da cônica, ou seja, escolher
de modo que não haja mais termos em
X nem em
Y .
Passo 2
Ao fazer a translação
os coeficientes lineares em
X e
Y desaparecem se e somente se o vetor
(h,k) satisfaz
Isto dá o sistema linear
Passo 3
Substituindo os valores de
A,B,C,D,E obtemos
pois
-D=cosbeta e
-E=senbeta .
Passo 4
Calcula-se o determinante
para
alphaneq0 . Pelas fórmulas de Cramer,
Passo 5
Ao expandir ambos os determinantes nota-se que o numerador de
h é
2alphacosbeta e o de
k é
2alphasenbeta . Assim
Logo a translação
elimina os termos lineares em
X e
Y .
Resposta
Faça a translação
que leva a cônica a uma forma sem termos de primeiro grau.