Prova 3-2024.2
Geometria Analítica
Prof. Mathieu Molitor
Exercício 1. O plano está munido de um sistema de coordenadas cartesianas Sigma=O, mathscrB=e1, e2, com mathscrB ortonormal. Sejam alpha e beta dois números reais, com -pi4<beta<pi4, e seja Calpha, beta a cônica cuja equação é dada por:
0=A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F
onde
l A=12 cos ^2(beta)+alpha sen^2(beta) B=-(alpha-12) sen(2 beta) C=12 sen^2(beta)+alpha cos ^2(beta), D=-cos (beta) E=-sen(beta) F=-12
Caso seja possível, elimine os termos de 1^circ grau por meio de uma translação.

Passo 1

O enunciado dá uma cônica genérica
0 = A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F
com
A=tfrac12cos^2(beta)+alphasen^2(beta), B=-(alpha-tfrac12)sen(2beta), C=tfrac12sen^2(beta)+alphacos^2(beta), D=-cos(beta), E=-sen(beta), F=-tfrac12,
e pede para eliminar os termos de primeiro grau por meio de uma translação. O conteúdo é encontrar o centro da cônica, ou seja, escolher
x = X + h, y = Y + k
de modo que não haja mais termos em X nem em Y.

Passo 2

Ao fazer a translação
x = X + h, y = Y + k
os coeficientes lineares em X e Y desaparecem se e somente se o vetor (h,k) satisfaz
partialpartial Xl(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+Fr)|(h,k)=0,
partialpartial Yl(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+Fr)|(h,k)=0
Isto dá o sistema linear
2A,h + B,k + D = 0, B,h + 2C,k + E = 0

Passo 3

Substituindo os valores de A,B,C,D,E obtemos
2l(tfrac12cos^2beta+alphasen^2betar)h ;-;(alpha-tfrac12)sen(2beta),k ;=;cosbeta,
-(alpha-tfrac12)sen(2beta),h ;+;2l(tfrac12sen^2beta+alphacos^2betar)k ;=;senbeta,
pois -D=cosbeta e -E=senbeta.

Passo 4

Calcula-se o determinante
De<a = cos^2beta+2alphasen^2beta & -(alpha-tfrac12)sen(2beta)[6pt] -(alpha-tfrac12)sen(2beta) & sen^2beta+2alphacos^2beta =2alpha,
para alphaneq0. Pelas fórmulas de Cramer,
h=1De<a cosbeta & -(alpha-tfrac12)sen(2beta)[4pt] senbeta & sen^2beta+2alphacos^2beta , k=1De<a cos^2beta+2alphasen^2beta & cosbeta[4pt] -(alpha-tfrac12)sen(2beta) & senbeta ]

Passo 5

Ao expandir ambos os determinantes nota-se que o numerador de h é 2alphacosbeta e o de k é 2alphasenbeta. Assim
h=2alphacosbeta2alpha=cosbeta, k=2alphasenbeta2alpha=senbeta
Logo a translação
x = X + cosbeta, y = Y + senbeta
elimina os termos lineares em X e Y.

Resposta

Faça a translação
x = X + cosbeta, y = Y + senbeta,
que leva a cônica a uma forma sem termos de primeiro grau.

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