Seja uma transformação linear dada por $$ [T]_{\alpha}^{\alpha}=\left[ \right] .

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base padrão alpha é
A = [T]alpha^alpha = 4 & 3 3 & 2
Para verificar se T é invertível, precisamos checar se det(A)neq0. Se for invertível, calculamos T^-1 encontrando A^-1 e, em seguida, aplicando-o ao vetor (x,y).

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A. Pela definição,
det(A) = 4cdot2 - 3cdot3 = 8 - 9 = -1

Passo 3

Como det(A) = -1 neq 0, concluímos que T é de fato invertível.

Passo 4

Para obter A^-1, usamos a fórmula do adjunto:
A^-1 = 1det(A)2 & -3 -3 & 4 = 1-12 & -3 -3 & 4 = -2 & 3 3 & -4

Resposta

T^-1(x,y) = (-2x + 3y,;3x - 4y).

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